云服务器和网站空间,市场调研公司干什么的,关于外贸公司的网站模板,王业侨例1.已知 (R,,x)为域#xff0c;请选出正确的说法:(A)(R,,x)也是整区;
ABCD
(B)R中无零因子;
C)R在x运算上满足第一、二、三指数律;
(D)R只有平凡理想;
(E)R只有平凡子环。 域的特征#xff1a;
域中#xff0c;非0元素的加法周期
思考、在模7整数环R,中#xff0c;…例1.已知 (R,,x)为域请选出正确的说法:(A)(R,,x)也是整区;
ABCD
(B)R中无零因子;
C)R在x运算上满足第一、二、三指数律;
(D)R只有平凡理想;
(E)R只有平凡子环。 域的特征
域中非0元素的加法周期
思考、在模7整数环R,中√4、√-5分别等于什么2 3 子域
子集仍然是域
{0}不是域子域也不一定是原本的理想 最小子域
属于任何子域的子域
特征为p的最小子域同构于Rp 如果是特征为0那就是和有理数域同构间接说明有理数域自己就是特征0的最小子域 素域
设p为质数或等于0特征为p的任意域F包含Rp为其最小子域。
我们把R,称为最小域或素域其中p为0或质数。
今后对任意a属于F代数式na有两种等价的解释:
①可以看作是a的n倍(即n个a相加)
②可以看作是F中两个元素(n、a)的乘积。
显然这两种解释的计算结果都等同于(ne)a。
素域的结论
结论2:有限域的特征为质数p(否则RF与元数有限矛盾)
结论3:设F的特征是质数p则(ab)^Pa^pb^p
结论4:设F的特征是质数p,则(a-b)^p a^p-b^p。
结论5:设F的特征是质数p则(a±b)^pa^p±b^p
结论6:设F的特征是质数p则(a1…an)^Pa1^pa2^p....
结论7:设F的特征是质数pn不是p的倍数则n^(p-1)1 (费马小定理) 域上的多项式
设R是有壹的交换环N是R的理想。于是R/N是域必要而且只要N是R的极大理想。 用什么样的有壹交换环R来构造域?
整数环? 错
极大理想为pz只能构造出有限素域Rp.
有理数域错
极大理想{0}的话只能构造出自身同构的理想 多项式环来构造域
定义(域上关于文字x的多项式)设F是域x是一个抽象的符号F上面一个文字x的多项式形式如下:a0x^n a1x^n-1 ... an其中 n、n-1、….、0是非负整数系数a0、a1、a2∈ F。x的多项式可用f(x)、g(x)等代表。 1,多项式的次数
最大项的次数
常数多项式0的次数是负无穷
1的次数是0 2,多项式相等
F(x)g(x)
可以添常数项 次(fg)max(fg)
次(fg)次(g)次(f) F[x] 是域F上的多项式集合, |F[x]|p^n 思考.F为域Fx]为F上的所有多项式的集合十、x运算为多项式加法、乘法运算回答下列问题:
(1)(F[x],十,X)是否为环?是
(2)(F[x],,X)是否为有壹环?是
(3)(F[x],,X)是否为交换环?是
(4)(F[x],,X)是否为无零因子环? 是
(5)(F[x],,X)是否为整区?是
(6) F 是否为(F|x],,X)的子域?是
(7)(F|x],,X)中的零、壹分别是哪两个多项式?0,1
(8)(F[x],,X)中任一多项式f(x)的加法逆元是什么?-f(x) 多项式环是整区 余式和商式:
结论1:
对域F上的任意两个多项式f(x)和g(x),g(x)≠0必定存在多项式q(x)和r(x)使得 次r(x)次g(x)f(x)q(x)g(x)r(x),q(x)称为商式r(x)称为为余式。 注意:此结论适用范围是域上的多项式如果要扩充到整区(有壹、交换、无零因子环)上的多项式要将g(x)限定成首系数为1的多项式。(反例如整数环上多项式f(x)x和g(x)2) 结论2:
余和商都是确定的 整除:
若对f(x)和g(x)有h(x)使f(x)h(x)g(x)则称g(x)整除f(x)即g(x)f(x)。或说g(x)是f(x)的因式f(x)是g(x)的倍式。
练习.
在有理域R。上以下哪些多项式整除关系成立:ABCEF
(A)2|4
(B)4|2
(c)4|0
(D)0|4
(E)4|x
(F)8x|x^2x 整除性质:
(1)若flg、g|h则f|h.
(2)若fg则f|gh。
(3)若f|g、f|h则f|lg±h。
(4)若f整除g1…,gn则f|h1,g1,...hn gn。
(5)若在一等式中除某项外其余各项都是f的倍式则该项也是f的倍式。
(6)若f|g、g|f则f与g只差一个非0常数因子,
相通:
两个多项式如果只差一个非0常数因子则称它们是相通的。
(7)同一系列的多项式的最高公因式相通 最高公因式:
若d|f,,…,dlf,则称d是f,,…,f,的公因式。如果d是f.,…,f,的公因式而且f,…,f,的任意公因式整除d则称d为f,…,f,的最高公因式。
(1)4和x的公因式为所有非零常数多项式a:它们的最高公因式也为所有非零常数多项式a;
(2)8x和x^2x的公因式为所有形如a和ax(a≠0)的多项式它们的最高公因式为所有形如ax(a≠0)的多项式。 真因式
f|gf部位常数也不和g相通
质式、不可约多项式非常元素且没有真因式的多项式 不是,是,是 定理3 任意多项式f和g必有最高公因式。 定理4 f、g的最高公因式d中可以表为f、g的倍式和即表为:dλfμg ,其中λ、μ都是多项式。 定理5 若p是质式而p|f1..fn,则p整除f1…,fn,之一。 互质:
若f1,…,fn除了非0常元素外没有公因式则说f1,…,fn是互质的。
F1,…,fn,互质--其最高公因式为非0常元素--1为其一个最高公因式 定理6任一非常数多项式恰有一法表为质式的乘积恰有一法”:把相通的质式看作一样并且不考虑质因式的次序。
定理7 任意非常数多项式f可以唯一地表为下面的形式:fc*p1^r1*p2^r2…pn^rn,其中P是互不相通的质式ri是正整数。 结论:
结论1域f上的多项式环F[x]的理想都是主理想
题目: 1.写出N: 2.写出R2[x]中模m(x)的所有余式 3.写出所有N的剩余类 4.写出剩余环 R2[x]/N 如果拓展成为域F,k为特征n为次数 结论2:
(m(x))是F[x]的极大理想----m(x)是f[x]中的质式 域F上的模m(x)多项式环 对比:
