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Z变换#xff08;Z-transformation#xff09;是对离散序列进行的一种数学变换#xff0c;常用于求线性时不变差分方程的… 文章目录 什么是Z变换离散时间信号的Z变换的定义Z变换收敛域的特性Z变换的性质和定理常用序列的Z变换及其收敛域逆Z变换差分方程的Z变换解 什么是Z变换
Z变换Z-transformation是对离散序列进行的一种数学变换常用于求线性时不变差分方程的解。它可将离散时间序列变换为在复频域的表达式可将差分方程转化为代数方程。它在离散时间信号处理中的地位如同拉普拉斯变换在连续时间信号处理中的地位。离散时间信号的Z变换是分析线性时不变离散时间系统问题的重要工具。
离散时间信号的Z变换的定义
序列x(n)的Z变换定义为 X ( z ) ∑ n − ∞ ∞ x ( n ) z − n X(z)\sum_{n-\infty}^{\infty}x(n)z^{-n} X(z)n−∞∑∞x(n)z−n
z是一个复变量它所在的复平面称为z平面。注意在定义中对n求和是在 ± ∞ \pm \infty ±∞之间求和称为双边Z变换。
单边Z变换的定义如下 X ( z ) ∑ n 0 ∞ x ( n ) z − n X(z)\sum_{n0}^{\infty}x(n)z^{-n} X(z)n0∑∞x(n)z−n Z变换存在的条件是上式等号右边级数收敛要求级数绝对可和即 ∑ n − ∞ ∞ ∣ x ( n ) z − n ∣ ∞ \sum_{n-\infty}^{\infty}|x(n)z^{-n}|\infty n−∞∑∞∣x(n)z−n∣∞ 使得上式成立z变量取值的域称为收敛域。一般收敛域用环状区域来表示 R x − ∣ z ∣ R x R_{x-}|z|R_{x} Rx−∣z∣Rx
Z变换收敛域的特性
1、有限长序列
如序列x(n)满足下式 x ( n ) { x ( n ) n 1 ≤ n ≤ n 2 0 其 他 x(n)\begin{cases}x(n)n_1 \leq n \leq n_2\\0其他\end{cases} x(n){x(n)0n1≤n≤n2其他
其Z变换为 X ( z ) ∑ n n 1 n 2 x ( n ) z − n X(z)\sum_{nn_1}^{n_2}x(n)z^{-n} X(z)∑nn1n2x(n)z−n
如果 n 1 0 n_10 n10X(z)中包含 z − n z^{-n} z−n的项 ∣ z ∣ − ∞ , ∣ z − n 1 ∣ − ∞ |z|-\infty,|z^{-n_1}|-\infty ∣z∣−∞,∣z−n1∣−∞所以X(z)的收敛域不包括 ∞ \infty ∞点
同理如果 n 2 0 n_20 n20则收敛域不包括z0点
因此具体有限长序列的收敛域表示如下 n 1 0 , n 2 ≤ 0 时 0 ≤ ∣ z ∣ ∞ n_10,n_2\leq 0时0\leq|z|\infty n10,n2≤0时0≤∣z∣∞ n 1 0 , n 2 0 时 0 ∣ z ∣ ∞ n_10,n_2 0时0|z|\infty n10,n20时0∣z∣∞ n 1 ≥ 0 , n 2 0 时 0 ∣ z ∣ ≤ ∞ n_1\geq0,n_2 0时0|z|\leq \infty n1≥0,n20时0∣z∣≤∞
2、右序列
右序列是在 n ≥ n 1 n\geq n_1 n≥n1时序列值不全为零而其他 n n 1 nn_1 nn1序列值全为零 X ( z ) ∑ n n 1 ∞ x ( n ) z − n ∑ n n 1 − 1 x ( n ) z − n ∑ n 0 ∞ x ( n ) z − n X(z)\sum_{nn_1}^{\infty}x(n)z^{-n}\sum_{nn_1}^{-1}x(n)z^{-n}\sum_{n0}^{\infty}x(n)z^{-n} X(z)nn1∑∞x(n)z−nnn1∑−1x(n)z−nn0∑∞x(n)z−n 第一项为有限长序列设 n 1 ≤ − 1 n_1 \leq-1 n1≤−1其收敛域 0 ≤ ∣ z ∣ ∞ 0\leq |z|\infty 0≤∣z∣∞。
第二项为因果序列 其收敛域 R X − ∣ z ∣ ≤ ∞ , R X − 是 第 二 项 最 小 的 收 敛 半 径 R_{X-} |z|≤\infty,R_{X-}是第二项最小的收敛半径 RX−∣z∣≤∞,RX−是第二项最小的收敛半径。
将两收敛域相与其收敛域为 R X − ∣ z ∣ ∞ R_{X-} |z|\infty RX−∣z∣∞。如果是因果序列收敛域定为 R X − ∣ z ∣ ≤ ∞ R_{X-} |z|≤\infty RX−∣z∣≤∞
什么是因果序列 x ( n ) { x ( n ) n ≥ 0 0 n 0 x(n)\begin{cases}x(n)n\geq0\\0n0\end{cases} x(n){x(n)0n≥0n0
3、左序列
左序列是在 n ≤ n 2 n\leq n_2 n≤n2时序列值不全为零而其他$ nn_2 $序列值全为零的序列 X ( z ) ∑ n − ∞ n 2 x ( n ) z − n X(z)\sum_{n-\infty}^{n_2}x(n)z^{-n} X(z)n−∞∑n2x(n)z−n 如果 n 2 0 n_20 n20收敛域为 0 ≤ ∣ z ∣ R x 0\leq|z|R_{x} 0≤∣z∣Rx;如果 n 2 0 n_20 n20收敛域为 0 ∣ z ∣ R x 0|z|R_{x} 0∣z∣Rx
4、双边序列
一个双边序列可以看作一个左序列和一个右序列之和其Z变换表示为( n 1 0 n_10 n10) X ( z ) ∑ n − ∞ ∞ x ( n ) z − n X 1 ( n ) x 2 ( n ) X(z)\sum_{n-\infty}^{\infty}x(n)z^{-n}X_1(n)x_2(n) X(z)n−∞∑∞x(n)z−nX1(n)x2(n) X 1 ( z ) ∑ n − ∞ n 1 x ( n ) z − n , 0 ∣ z ∣ R x X_1(z)\sum_{n-\infty}^{n_1}x(n)z^{-n},0|z|R_{x} X1(z)n−∞∑n1x(n)z−n,0∣z∣Rx X 2 ( z ) ∑ n n 1 1 ∞ x ( n ) z − n , R X − ∣ z ∣ ≤ ∞ X_2(z)\sum_{nn_11}^{\infty}x(n)z^{-n},R_{X-} |z|\leq\infty X2(z)nn11∑∞x(n)z−n,RX−∣z∣≤∞
X(z)的收敛域是 X 1 ( z ) 和 X 2 ( z ) X_1(z)和X_2(z) X1(z)和X2(z) 收敛域的公共收敛域如果 R X R X − R_{X}R_{X-} RXRX−其收敛域为 R X − ∣ z ∣ R X R_{X-}|z|R_{X} RX−∣z∣RX这是一个环状域如果 R X R X − R_{X}R_{X-} RXRX−两个收敛域没有公共区域X(z)没有收敛域因此X(z)不存在
Z变换的性质和定理
1、线性
设m(n)ax(n)by(n)a,b为常数 X ( z ) Z T [ x ( n ) ] , R x − ∣ z ∣ R x ; Y ( z ) Z T [ y ( n ) ] , R y − ∣ z ∣ R y X(z)ZT[x(n)],R_{x-}|z|R_{x};Y(z)ZT[y(n)],R_{y-}|z|R_{y} X(z)ZT[x(n)],Rx−∣z∣Rx;Y(z)ZT[y(n)],Ry−∣z∣Ry
则 M ( z ) Z T [ m ( n ) ] a X ( z ) b Y ( z ) ] , R m − ∣ z ∣ R m M(z)ZT[m(n)]aX(z)bY(z)],R_{m-}|z|R_{m} M(z)ZT[m(n)]aX(z)bY(z)],Rm−∣z∣Rm R m m i n [ R x , R y ] R m − m a x [ R x − , R y − ] R_{m}min[R_{x},R_{y}]R_{m-}max[R_{x-},R_{y-}] Rmmin[Rx,Ry]Rm−max[Rx−,Ry−]
这里M(z)的收敛域是X(z)和Y(z)的公共收敛域如果没有公共收敛域则M(z)不存在
2、移位特性
设 X ( z ) Z T [ x ( n ) ] , R x − ∣ z ∣ R x X(z)ZT[x(n)] , R_{x-}|z|R_{x} X(z)ZT[x(n)],Rx−∣z∣Rx
则 Z T [ x ( n − n 0 ) ] z − n 0 X ( z ) , R x − ∣ z ∣ R x ZT[x(n-n_0)]z^{-n_0}X(z) , R_{x-}|z|R_{x} ZT[x(n−n0)]z−n0X(z),Rx−∣z∣Rx 3、乘以指数序列
设 X ( z ) Z T [ x ( n ) ] , R x − ∣ z ∣ R x X(z)ZT[x(n)],R_{x-}|z|R_{x} X(z)ZT[x(n)],Rx−∣z∣Rx y ( n ) a n x ( n ) , a 为 常 数 y(n)a^nx(n),a为常数 y(n)anx(n),a为常数
则 Y ( z ) Z T [ a n x ( n ) ] X ( a − 1 z ) , ∣ a ∣ R x − ∣ z ∣ ∣ a ∣ R x Y(z)ZT[a^nx(n)]X(a^{-1}z),|a|R_{x-}|z||a|R_{x} Y(z)ZT[anx(n)]X(a−1z),∣a∣Rx−∣z∣∣a∣Rx
4、序列乘以n 5、序列卷积定理
设 ( n ) x ( n ) ∗ y ( n ) (n)x(n)^*y(n) (n)x(n)∗y(n) X ( z ) Z T [ x ( n ) ] , R x − ∣ z ∣ R x X(z)ZT[x(n)] , R_{x-}|z|R_{x} X(z)ZT[x(n)],Rx−∣z∣Rx Y ( z ) Z T [ y ( n ) ] , R y − ∣ z ∣ R y Y(z)ZT[y(n)],R_{y-}|z|R_{y} Y(z)ZT[y(n)],Ry−∣z∣Ry
则 W ( z ) Z T [ ( n ) ] X ( z ) ⋅ Y ( z ) , R w − ∣ z ∣ R w W(z)ZT[(n)]X(z)\cdot Y(z),R_{w-}|z|R_{w} W(z)ZT[(n)]X(z)⋅Y(z),Rw−∣z∣Rw R w m i n [ R x , R y ] R w − m a x [ R x − , R y − ] R_{w}min[R_{x},R_{y}]R_{w-}max[R_{x-},R_{y-}] Rwmin[Rx,Ry]Rw−max[Rx−,Ry−]
W(z)的收敛域就是X(z)和Y(z)的公共收敛域
6、初值定理
设x(n)是因果序列 X ( z ) Z T [ x ( n ) ] X(z)ZT[x(n)] X(z)ZT[x(n)]
那么 x ( 0 ) lim z − ∞ X ( z ) x(0)\lim_{z-\infty}X(z) x(0)limz−∞X(z)
证明 X ( z ) ∑ n 0 ∞ x ( n ) z − n x ( 0 ) x ( 1 ) z − 1 x ( 2 ) z − 2 … X(z)\sum_{n0}^{\infty}x(n)z^{-n}x(0)x(1)z^{-1}x(2)z^{-2}\ldots X(z)n0∑∞x(n)z−nx(0)x(1)z−1x(2)z−2… 因此 lim z − ∞ X ( z ) x ( 0 ) \lim_{z-\infty}X(z)x(0) limz−∞X(z)x(0)
7、终值定理
若x(n)是因果序列其Z变换的极点除可以有一个一阶极点在z1上其它极点均在单位圆内则下式称为终值定理 lim n − ∞ x ( n ) lim z − 1 ( z − 1 ) X ( z ) \lim_{n-\infty}x(n)\lim_{z-1}(z-1)X(z) n−∞limx(n)z−1lim(z−1)X(z)
常用序列的Z变换及其收敛域
序列Z变换收敛域 δ ( n ) \delta(n) δ(n)1 0 ≤ ∥ z ∥ ≤ ∞ 0\leq\|z\|\leq\infty 0≤∥z∥≤∞ u ( n ) u(n) u(n) 1 1 − z − 1 \frac{1}{1-z^{-1}} 1−z−11 ∥ z ∥ 1 \|z\|1 ∥z∥1 a n u ( n ) a^nu(n) anu(n) 1 1 − a z − 1 \frac{1}{1-az^{-1}} 1−az−11 ∥ z ∥ ∥ a ∥ \|z\|\|a\| ∥z∥∥a∥ − a n u ( − n − 1 ) -a^nu(-n-1) −anu(−n−1) 1 1 − a z − 1 \frac{1}{1-az^{-1}} 1−az−11 ∥ z ∥ ∥ a ∥ \|z\|\|a\| ∥z∥∥a∥ n u ( n ) nu(n) nu(n) z − 1 ( 1 − z − 1 ) 2 \frac{z^{-1}}{(1-z^{-1})^2} (1−z−1)2z−1 ∥ z ∥ 1 \|z\|1 ∥z∥1 n a n u ( n ) na^nu(n) nanu(n) a z − 1 ( 1 − a z − 1 ) 2 \frac{az^{-1}}{(1-az^{-1})^2} (1−az−1)2az−1 ∥ z ∥ ∥ a ∥ \|z\|\|a\| ∥z∥∥a∥
逆Z变换
已知序列的Z变换及其收敛域求序列称为逆Z变换。 x ( n ) 1 2 π j ∮ c X ( z ) z n − 1 d z , c ∈ ( R x − , R x ) x(n)\frac1{2\pi j}\oint_cX(z)z^{n-1}dz,c\in(R_{x-},R_{x}) x(n)2πj1∮cX(z)zn−1dz,c∈(Rx−,Rx)
式中围线c是收敛域内一条逆时针的封闭曲线
差分方程的Z变换解
设N阶线性常系数差分方程为 ∑ k 0 N a k y ( n − k ) ∑ i 0 M b i x ( n − i ) , a 0 1 ( 1 ) \sum_{k0}^Na_ky(n-k)\sum_{i0}^Mb_ix(n-i),a_01(1) k0∑Naky(n−k)i0∑Mbix(n−i),a01(1) 系统的全响应由零输入响应和零状态响应叠加而成。
零输入响应: 假定系统输入为零由系统初始条件引起的响应可采用单边Z变换来分析零状态响应: 假定系统初始条件为零由系统输入的引起的响应即x(n)*h(n)
计算全响应 对于N阶差分方程必须已知N个初始条件 设x(n)是因果序列即x(n)0,n0,已知初始条件y(-1)y(-2)…y(-N)。对(1)式进行Z变换时要用单边Z变换。方程式的右边由于x(n)是因果序列单边Z变换与双边Z变换相同。 下面先求移位序列的单边Z变换 设 Y ( z ) ∑ n 0 ∞ y ( n ) z − n Y(z)\sum_{n0}^{\infty}y(n)z^{-n} Y(z)∑n0∞y(n)z−n 对y(z)移位k后的y(n-k)求其单边Z变换 Z T [ y ( n − k ) u ( n ) ] ∑ n 0 ∞ y ( n − k ) z − n z − k ∑ n 0 ∞ y ( n − k ) z − ( n − k ) ZT[y(n-k)u(n)]\sum_{n0}^{\infty}y(n-k)z^{-n}z^{-k}\sum_{n0}^{\infty}y(n-k)z^{-(n-k)} ZT[y(n−k)u(n)]n0∑∞y(n−k)z−nz−kn0∑∞y(n−k)z−(n−k) z − k ∑ l − k ∞ y ( l ) z − l z − k [ ∑ l 0 ∞ y ( l ) z − l ∑ l − k − 1 y ( l ) z − l ] z^{-k}\sum_{l-k}^{\infty}y(l)z^{-l}z^{-k}[\sum_{l0}^{\infty}y(l)z^{-l}\sum_{l-k}^{-1}y(l)z^{-l}] z−kl−k∑∞y(l)z−lz−k[l0∑∞y(l)z−ll−k∑−1y(l)z−l] z − k [ Y ( z ) ∑ l − k − 1 y ( l ) z − l ] z^{-k}[Y(z)\sum_{l-k}^{-1}y(l)z^{-l}] z−k[Y(z)l−k∑−1y(l)z−l]
对(1)式进行单边Z变换其中x(n)为因果序列 ∑ k 0 N a k z − k [ Y ( z ) ∑ l − k − 1 y ( l ) z − l ] ∑ i 0 M b i X ( z ) z − i , a 0 1 \sum_{k0}^{N}a_kz^{-k}[Y(z)\sum_{l-k}^{-1}y(l)z^{-l}]\sum_{i0}^{M}b_iX(z)z^{-i},a_01 k0∑Nakz−k[Y(z)l−k∑−1y(l)z−l]i0∑MbiX(z)z−i,a01 Y ( z ) ∑ i 0 M b i z − i ∑ k 0 N a k z − k X ( z ) − ∑ k 0 N a k z − k ∑ l − k − 1 y ( l ) z − l ∑ k 0 N a k z − k , a 0 1 Y(z)\frac{\sum_{i0}^{M}b_iz^{-i}}{\sum_{k0}^{N}a_kz^{-k}}X(z)-\frac{\sum_{k0}^Na_kz^{-k}\sum_{l-k}^{-1}y(l)z^{-l}}{\sum_{k0}^{N}a_kz^{-k}},a_01 Y(z)∑k0Nakz−k∑i0Mbiz−iX(z)−∑k0Nakz−k∑k0Nakz−k∑l−k−1y(l)z−l,a01
式中第一项为零状态解第二项为零输入解
对Y(z)做逆Z变换得到全响应y(n)
