手机商城设计,湖北网站建设优化,企业推广托管,网站设计网站建设文章目录 一、基本概念1.1 引例1.2 正定二次型概念 二、正定二次型的判别写在最后 一、基本概念
1.1 引例
#xff08;1#xff09;二次型 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) x 1 2 3 x 2 2 2 x 3 2 X T A X f(x_1,x_2,x_3)x_1^23x_2^22x_3^2\pmb{X^TAX} f(x1,x2,x3)x123… 文章目录 一、基本概念1.1 引例1.2 正定二次型概念 二、正定二次型的判别写在最后 一、基本概念
1.1 引例
1二次型 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) x 1 2 3 x 2 2 2 x 3 2 X T A X f(x_1,x_2,x_3)x_1^23x_2^22x_3^2\pmb{X^TAX} f(x1,x2,x3)x123x222x32XTAX 有如下特点
对任意的 x 1 , x 2 , x 3 x_1,x_2,x_3 x1,x2,x3 有 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) ≥ 0 f(x_1,x_2,x_3)\geq0 f(x1,x2,x3)≥0 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) 0 f(x_1,x_2,x_3)0 f(x1,x2,x3)0 当且仅当 x 1 x 2 x 3 0 x_1x_2x_30 x1x2x30 或对任意 X ≠ 0 \pmb{X}\ne\pmb{0} X0 有 X T A X 0 \pmb{X^TAX}0 XTAX0 。
2二次型 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) x 1 2 − 2 x 1 x 2 4 x 2 2 6 x 3 2 ( x 1 − x 2 ) 2 3 x 2 2 6 x 3 2 X T A X f(x_1,x_2,x_3)x_1^2-2x_1x_24x_2^26x_3^2(x_1-x_2)^23x_2^26x_3^2\pmb{X^TAX} f(x1,x2,x3)x12−2x1x24x226x32(x1−x2)23x226x32XTAX 有如下特点
对任意的 x 1 , x 2 , x 3 x_1,x_2,x_3 x1,x2,x3 有 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) ≥ 0 f(x_1,x_2,x_3)\geq0 f(x1,x2,x3)≥0 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) 0 f(x_1,x_2,x_3)0 f(x1,x2,x3)0 当且仅当 x 1 x 2 x 3 0 x_1x_2x_30 x1x2x30 或对任意 X ≠ 0 \pmb{X}\ne\pmb{0} X0 有 X T A X 0 \pmb{X^TAX}0 XTAX0 。
1.2 正定二次型概念
对二次型 f ( x 1 , x 2 , ⋯ , x n ) X T A X f(x_1,x_2,\cdots,x_n)\pmb{X^TAX} f(x1,x2,⋯,xn)XTAX 若对任意 X ≠ 0 \pmb{X}\ne\pmb{0} X0 总有 X T A X 0 \pmb{X^TAX}0 XTAX0 称 X T A X \pmb{X^TAX} XTAX 为正定二次型 A \pmb{A} A 为正定矩阵。 二、正定二次型的判别
定理 1 —— 二次型 X T A X \pmb{X^TAX} XTAX 为正定二次型的充分必要条件是 A \pmb{A} A 的特征值均为正数。
定理 2 —— 二次型 X T A X \pmb{X^TAX} XTAX 为正定二次型的充分必要条件是 A \pmb{A} A 的顺序主子式都大于 0 即 a 11 0 , ∣ a 11 a 12 a 21 a 22 ∣ 0 , ⋯ , ∣ A ∣ 0. a_{11}0,\begin{vmatrix} a_{11} a_{12} \\ a_{21} a_{22} \end{vmatrix}0,\cdots,|\pmb{A}|0. a110, a11a21a12a22 0,⋯,∣A∣0. 定理 3 —— 设 A T A \pmb{A^TA} ATA 则 A \pmb{A} A 为正定矩阵的充分必要条件是存在可逆矩阵 B \pmb{B} B 使得 A B T B \pmb{AB^TB} ABTB 。
定理 4 —— 设 A T A \pmb{A^TA} ATA 则 A \pmb{A} A 为正定矩阵的充分必要条件是 A \pmb{A} A 与 E \pmb{E} E 合同。
定理 5 —— 设 A T A \pmb{A^TA} ATA 则 A \pmb{A} A 为正定矩阵的充分必要条件是 A \pmb{A} A 的正惯性指数为 n n n 。
定理 6 —— 设 A , B \pmb{A,B} A,B 分别为 m m m 阶和 n n n 阶实对称矩阵则 [ A 0 0 B ] \begin{bmatrix} \pmb{A} \pmb{0} \\ \pmb{0} \pmb{B} \end{bmatrix} [A00B] 为正定矩阵的充分必要条件为 A , B \pmb{A,B} A,B 均为正定矩阵。
二次型 f ( X ) X T A X f(\pmb{X})\pmb{X^TAX} f(X)XTAX 正定的必要条件是 a i i 0 ( i 1 , 2 , ⋯ , n ) ; ∣ A ∣ 0 a_{ii}0(i1,2,\cdots,n);|A|0 aii0(i1,2,⋯,n);∣A∣0 。 即可以先看看对角线元素和行列式是否大于 0 作初步判别。 若 A \pmb{A} A 为正定矩阵则其一定可逆且 A − 1 , A ∗ \pmb{A}^{-1},\pmb{A}^* A−1,A∗ 均正定。
若 A , B \pmb{A,B} A,B 都是正定矩阵则 A B \pmb{A}\pmb{B} AB 也是正定矩阵。 写在最后
那线性代数到这理论也就基本结束了。
