沈阳网站建设公司怎么样,别人怎么看见我做的网站,ERP开发 网站开发,教师兼职做网站文章目录 逼近理论的应用——最小二乘问题、解超定、欠定方程组离散平方逼近最小二乘解 本篇文章适合个人复习翻阅#xff0c;不建议新手入门使用 本专栏#xff1a;数值分析复习 的前置知识主要有#xff1a;数学分析、高等代数、泛函分析 逼近理论的应用——最小二乘问题、… 文章目录 逼近理论的应用——最小二乘问题、解超定、欠定方程组离散平方逼近最小二乘解 本篇文章适合个人复习翻阅不建议新手入门使用 本专栏数值分析复习 的前置知识主要有数学分析、高等代数、泛函分析 逼近理论的应用——最小二乘问题、解超定、欠定方程组
离散平方逼近
设全空间 X R n X\mathbb{R}^n XRn 在 R n \mathbb{R}_n Rn 中取 m n mn mn 个线性无关的向量 ( X 1 , … , X m ) (X_1,\dots,X_m) (X1,…,Xm)令 M s p a n { X 1 , … , X m } Mspan\{X_1,\dots,X_m\} Mspan{X1,…,Xm}则对任意 Y ∈ X \ M Y\in X\backslash M Y∈X\M M M M 中存在唯一的最佳逼近元 X ∗ ∑ i 1 m c i X i X^*\sum\limits_{i1}^mc_iX_i X∗i1∑mciXi其满足以下法方程组 ∑ i 1 m X i , X j c i Y , X j \sum\limits_{i1}^mX_i,X_jc_iY,X_j i1∑mXi,XjciY,Xj若设 A [ X 1 , … , X m ] , C [ c 1 , … , c m ] T A[X_1,\dots,X_m],C[c_1,\dots,c_m]^T A[X1,…,Xm],C[c1,…,cm]T则方程组等效于 A T A C A T Y A^TACA^TY ATACATY
最小二乘解
求如下的最小化问题的解 x ∈ R n , s . t . min ∣ ∣ A x − b ∣ ∣ 2 x\in \mathbb{R}^n,s.t.\min||Ax-b||_2 x∈Rn,s.t.min∣∣Ax−b∣∣2由离散平方逼近的理论其解满足 A T A x A T b A^TAxA^Tb ATAxATb
应用求解超定、欠定方程组
我们把线性方程组 A x b Axb Axb 中 未知数多于方程个数的方程组称为欠定方程组 未知数多于方程个数且有矛盾方程的方程组称为超定方程组。
欠定方程组一般有多个解超定方程组一般无解故在工程上常用1范数或2范数意义下的最佳逼近解来作为解即上述的最小二乘解 x ∈ R n , s . t . min ∣ ∣ A x − b ∣ ∣ 2 x\in \mathbb{R}^n,s.t.\min||Ax-b||_2 x∈Rn,s.t.min∣∣Ax−b∣∣2其解满足 A T A x A T b A^TAxA^Tb ATAxATb 参考书籍《数值分析》李庆扬 王能超 易大义 编
