网站开发资料,现在出入邯郸最新规定,专业画册设计公司,wordpress能做跨境电商文章目录 无穷乘积定义#xff1a;无穷乘积的收敛性命题#xff1a;无穷乘积的Cauchy收敛准则正项级数和无穷乘积的联系 本篇文章适合个人复习翻阅#xff0c;不建议新手入门使用 无穷乘积
设复数列 { a n } n ≥ 1 \{a_n\}_{n\geq 1} {an}n≥1#xff0c;设对任意 … 文章目录 无穷乘积定义无穷乘积的收敛性命题无穷乘积的Cauchy收敛准则正项级数和无穷乘积的联系 本篇文章适合个人复习翻阅不建议新手入门使用 无穷乘积
设复数列 { a n } n ≥ 1 \{a_n\}_{n\geq 1} {an}n≥1设对任意 n , a n ≠ 0 n,a_n\neq 0 n,an0称 ∏ n ≥ 1 a n \prod\limits_{n\geq 1}a_n n≥1∏an 为无穷乘积称 P n a 1 ⋅ a 2 ⋯ a n P_na_1\cdot a_2\cdots a_n Pna1⋅a2⋯an 为部分积
定义无穷乘积的收敛性
若数列 { P n } n ≥ 1 \{P_n\}_{n\geq 1} {Pn}n≥1 的极限存在且不为 0 则称无穷乘积 ∏ n ≥ 1 a n \prod\limits_{n\geq 1}a_n n≥1∏an 收敛记 ∏ n ≥ 1 a n lim n → ∞ P n \prod\limits_{n\geq 1}a_n\lim\limits_{n\to\infty}P_n n≥1∏ann→∞limPn
命题无穷乘积的Cauchy收敛准则 ∏ n ≥ 1 a n \prod\limits_{n\geq 1}a_n n≥1∏an 收敛当且仅当对任意 ε 0 \varepsilon0 ε0存在 N N N 使得对任意的 n ≥ N n\geq N n≥N任意 p ≥ 0 p\geq 0 p≥0都有 ∣ a n ⋅ a n 1 ⋯ a n p − 1 ∣ ε |a_n\cdot a_{n1}\cdots a_{np}-1|\varepsilon ∣an⋅an1⋯anp−1∣ε
证明思路 必要性类似实数列的Cauchy收敛准则的证明方法 充分性只需证 { P n } \{P_n\} {Pn} 是 Cauchy 列需要先证序列有界且 lim n → ∞ P n ≠ 0 \lim\limits_{n\to\infty}P_n\neq 0 n→∞limPn0
正项级数和无穷乘积的联系
命题1
设 { a n } n ≥ 1 \{a_n\}_{n\geq 1} {an}n≥1 是正数的数列则下列等价 ∏ n ≥ 1 ( 1 a n ) \prod\limits_{n\geq 1}(1a_n) n≥1∏(1an) 收敛 ∑ n 1 ∞ a n \sum\limits_{n1}^{\infty}a_n n1∑∞an 收敛
证明思路 1推2 ∑ n 1 k a n ≤ ∏ n 1 k ( 1 a n ) ≤ ∏ n 1 ∞ ( 1 a n ) \sum\limits_{n1}^ka_n\leq \prod\limits_{n1}^k(1a_n)\leq \prod\limits_{n1}^{\infty}(1a_n) n1∑kan≤n1∏k(1an)≤n1∏∞(1an)单调有界数列必收敛 2推1 ∏ n 1 k ( 1 a n ) ≤ ∏ n 1 k e a k ≤ e x p ( ∑ n 1 k a n ) ≤ e x p ( ∑ n 1 ∞ a n ) \prod\limits_{n1}^k(1a_n)\leq \prod\limits_{n1}^ke^{a_k}\leq exp(\sum\limits_{n1}^ka_n)\leq exp(\sum\limits_{n1}^{\infty}a_n) n1∏k(1an)≤n1∏keak≤exp(n1∑kan)≤exp(n1∑∞an)单调有界数列必收敛
推论 设复数列 { a n } n ≥ 1 \{a_n\}_{n\geq 1} {an}n≥1 若 ∏ n 1 ∞ ( 1 ∣ a n ∣ ) \prod\limits_{n1}^{\infty}(1|a_n|) n1∏∞(1∣an∣) 收敛则 ∏ n 1 ∞ ( 1 a n ) \prod\limits_{n1}^{\infty}(1a_n) n1∏∞(1an) 收敛。特别地若 ∑ n 1 ∞ a n \sum\limits_{n1}^{\infty}a_n n1∑∞an 绝对收敛则 ∏ n 1 ∞ ( 1 a n ) \prod\limits_{n1}^{\infty}(1a_n) n1∏∞(1an) 收敛
证明思路 只需注意到 ∣ ∏ n k k p ( 1 a n ) − 1 ∣ ≤ ∏ n k k p ( 1 ∣ a n ∣ ) − 1 |\prod_{nk}^{kp}(1a_n)-1|\leq \prod_{nk}^{kp}(1|a_n|)-1 ∣nk∏kp(1an)−1∣≤nk∏kp(1∣an∣)−1
命题2 设数列 { a n } \{a_n\} {an} 满足 0 a n 1 0a_n1 0an1则 ∏ n 1 ∞ ( 1 − a n ) \prod\limits_{n1}^{\infty}(1-a_n) n1∏∞(1−an) 收敛当且仅当 ∑ n 1 ∞ a n \sum\limits_{n1}^{\infty}a_n n1∑∞an 收敛
证明 充分性显然 必要性用反证法 ( 1 − a 1 ) ⋯ ( 1 − a n ) ≤ 1 ( 1 a 1 ) ⋯ ( 1 a n ) ≤ 1 1 a 1 ⋯ a n → 0 \begin{split} (1-a_1)\cdots(1-a_n)\leq \frac{1}{(1a_1)\cdots(1a_n)}\\ \leq \frac{1}{1a_1\cdotsa_n}\to 0 \end{split} (1−a1)⋯(1−an)≤(1a1)⋯(1an)1≤1a1⋯an1→0从而 ∏ n 1 ∞ ( 1 − a n ) 0 \prod_{n1}^{\infty}(1-a_n)0 ∏n1∞(1−an)0 矛盾 参考书 《数学分析之课程讲义》清华大学数学系及丘成桐数学中心《数学分析习题课讲义》谢惠民 恽自求 易法槐 钱定边 著
