网站建设计划书,ludou wordpress,科技信息期刊,制作什么网站做毕业设计目录 原点矩中心矩常用的统计矩偏度#xff08;Skewness#xff09;定义解释 峰度#xff08;Kurtosis#xff09;定义解释 统计矩的应用MATLAB相关函数 原点矩#xff08;Moment about the Origin#xff09;和中心矩#xff08;Central Moment#xff09;是概率论和数… 目录 原点矩中心矩常用的统计矩偏度Skewness定义解释 峰度Kurtosis定义解释 统计矩的应用MATLAB相关函数 原点矩Moment about the Origin和中心矩Central Moment是概率论和数理统计中描述随机变量分布特征的统计量。
原点矩
原点矩基于随机变量与其原点通常是0之间的距离进行定义用于描述数据的集中趋势、离散程度等特性。
对于一个随机变量 X X X其 r r r阶原点矩定义为 μ r E ( X r ) \mu_r E(X^r) μrE(Xr)
其中 E E E表示期望值。 r r r是一个正整数表示矩的阶数。
连续型随机变量如果 X X X是连续型随机变量其概率密度函数为 f ( x ) f(x) f(x)则 r r r阶原点矩可以表示为 μ r ∫ − ∞ ∞ x r f ( x ) d x \mu_r \int_{-\infty}^{\infty} x^r f(x) \, dx μr∫−∞∞xrf(x)dx
离散型随机变量如果 X X X是离散型随机变量其概率分布列为 p ( x i ) p(x_i) p(xi)则 r r r阶原点矩可以表示为 μ r ∑ i x i r p ( x i ) \mu_r \sum_{i} x_i^r p(x_i) μri∑xirp(xi)
中心矩
与原点矩不同中心矩是基于随机变量与其期望值均值之间的偏差进行定义的主要用于描述数据的离散程度、对称性和峰态等特性。
对于一个随机变量 X X X其 r r r阶中心矩定义为 m r E [ ( X − μ ) r ] m_r E[(X - \mu)^r] mrE[(X−μ)r]
其中 E E E表示期望值。 μ E ( X ) \mu E(X) μE(X)是随机变量 X X X的期望值。 r r r是一个正整数表示矩的阶数。
连续型随机变量如果 X X X是连续型随机变量其概率密度函数为 f ( x ) f(x) f(x)则 r r r阶中心矩可以表示为 m r ∫ − ∞ ∞ ( x − μ ) r f ( x ) d x m_r \int_{-\infty}^{\infty} (x - \mu)^r f(x) \, dx mr∫−∞∞(x−μ)rf(x)dx
离散型随机变量如果 X X X是离散型随机变量其概率质量函数为 p ( x i ) p(x_i) p(xi)则 r r r阶中心矩可以表示为 m r ∑ i ( x i − μ ) r p ( x i ) m_r \sum_{i} (x_i - \mu)^r p(x_i) mri∑(xi−μ)rp(xi)
常用的统计矩 一阶原点矩均值 定义 μ 1 E ( X ) \mu_1 E(X) μ1E(X)描述一阶原点矩即为随机变量的期望值表示数据的中心位置或平均值。 二阶中心矩方差 定义 m 2 E [ ( X − μ ) 2 ] m_2 E[(X - \mu)^2] m2E[(X−μ)2]描述二阶中心矩即为方差 σ 2 \sigma^2 σ2表示数据的离散程度或波动大小。方差的平方根称为标准差 σ \sigma σ。 三阶中心矩 定义 m 3 E [ ( X − μ ) 3 ] m_3 E[(X - \mu)^3] m3E[(X−μ)3]描述三阶中心矩经过标准化除以标准差的三次方后称为偏度 γ 1 \gamma_1 γ1用于描述分布的不对称性。正偏度表示分布有较长的右尾负偏度表示有较长的左尾。 四阶中心矩 定义 m 4 E [ ( X − μ ) 4 ] m_4 E[(X - \mu)^4] m4E[(X−μ)4]描述四阶中心矩经过标准化除以标准差的四次方后称为峰度 γ 2 \gamma_2 γ2用于描述分布的峰态或“尖峭”程度。标准正态分布的峰度为3因此有时会报告超额峰度即峰度减去3以突出与正态分布相比的差异。
偏度Skewness
偏度Skewness是描述概率分布对称性的统计量用于衡量数据分布的不对称程度。具体来说偏度可以告诉我们数据分布的尾部是否偏向某一侧。正偏度表示分布有较长的右尾而负偏度表示有较长的左尾。标准正态分布的偏度为0表示其是对称的。
定义
偏度通常通过三阶中心矩标准化后得到。对于一个随机变量 X X X其偏度 γ 1 \gamma_1 γ1定义为 γ 1 m 3 σ 3 \gamma_1 \frac{m_3}{\sigma^3} γ1σ3m3
其中 m 3 E [ ( X − μ ) 3 ] m_3 E[(X - \mu)^3] m3E[(X−μ)3]是三阶中心矩。 μ E ( X ) \mu E(X) μE(X)是随机变量 X X X的期望值。 σ m 2 E [ ( X − μ ) 2 ] \sigma \sqrt{m_2} \sqrt{E[(X - \mu)^2]} σm2 E[(X−μ)2] 是标准差其中 m 2 m_2 m2是二阶中心矩方差。
标准差 σ \sigma σ的量纲与 X X X相同因此 σ 3 \sigma^3 σ3的量纲也是 X X X的量纲的三次方。通过除以标准差的三次方偏度成为了一个无量纲的统计量不受量纲的影响使得不同数据集的偏度可以直接进行比较。
解释 正偏度Positive Skewness 当 γ 1 0 \gamma_1 0 γ10时表示分布有较长的右尾。这表明大多数数据集中在左侧而右侧有少量极端值。 负偏度Negative Skewness 当 γ 1 0 \gamma_1 0 γ10时表示分布有较长的左尾。这表明大多数数据集中在右侧而左侧有少量极端值。 对称分布 当 γ 1 0 \gamma_1 0 γ10时表示分布是对称的如标准正态分布。
峰度Kurtosis
峰度Kurtosis是描述概率分布形状的一个统计量特别关注分布的“峰态”或“尖峭”程度。峰度衡量的是数据分布的尾部重厚程度以及峰顶的尖锐程度与正态分布相比较而言。
定义
对于一个随机变量 X X X其峰度定义为四阶中心矩除以方差的平方再减去3 Kurtosis ( X ) E [ ( X − μ ) 4 ] ( σ 2 ) 2 − 3 m 4 σ 4 − 3 \text{Kurtosis}(X) \frac{E[(X - \mu)^4]}{(\sigma^2)^2} - 3 \frac{m_4}{\sigma^4} - 3 Kurtosis(X)(σ2)2E[(X−μ)4]−3σ4m4−3
其中 E [ ( X − μ ) 4 ] E[(X - \mu)^4] E[(X−μ)4] 表示 X X X 的四阶中心矩。 μ E ( X ) \mu E(X) μE(X) 是 X X X 的期望值。 σ 2 V a r ( X ) E [ ( X − μ ) 2 ] \sigma^2 Var(X) E[(X - \mu)^2] σ2Var(X)E[(X−μ)2] 是 X X X 的方差。
解释 标准正态分布标准正态分布的峰度为0或说其超额峰度为0。这是因为它的四阶中心矩正好是方差平方的3倍因此在上述公式中减去3之后结果为0。 正峰度Leptokurtic如果一个分布的峰度大于0即超额峰度大于0则说明该分布比正态分布更“尖”且具有更重的尾部。这表明分布中有更多的极端值。 负峰度Platykurtic如果一个分布的峰度小于0即超额峰度小于0则说明该分布比正态分布更“平”且具有较轻的尾部。这表明分布中的极端值较少大多数观测值集中在均值附近。
统计矩的应用
描述数据分布通过计算不同阶数的中心矩可以全面地描述数据的分布特性如离散程度、对称性和峰态。参数估计在参数估计中中心矩常用于估计总体参数特别是在矩估计法中。数据分析中心矩可以用于各种数据分析任务如计算方差、偏度和峰度等。
MATLAB相关函数
