美工网站设计收费,哪里有营销策划培训班,东铁匠营网站建设,室内设计装修是什么专业文章目录 [toc] 分布函数分布函数性质离散型随机变量的分布函数连续型随机变量的分布函数示例1问题解答 正态随机变量示例问题解答 示例2问题#xff08;1#xff09;#xff08;2#xff09; 解答#xff08;1#xff09;#xff08;2#xff09; 随机变量函数的分布离… 文章目录 [toc] 分布函数分布函数性质离散型随机变量的分布函数连续型随机变量的分布函数示例1问题解答 正态随机变量示例问题解答 示例2问题12 解答12 随机变量函数的分布离散型随机变量函数的分布连续型随机变量函数的分布示例1问题解答 定理1证明 定理2示例2问题解答解法一解法二 示例3问题解答
分布函数 分布函数
设 X X X是一个随机变量 x x x是任意实数称 F ( x ) P { X ≤ x } F(x) P\set{X \leq x} F(x)P{X≤x}为 X X X的分布函数 P { x 1 X ≤ x 2 } P { X ≤ x 2 } − P { X ≤ x 1 } F ( x 2 ) − F ( x 1 ) P\set{x_{1} X \leq x_{2}} P\set{X \leq x_{2}} - P\set{X \leq x_{1}} F(x_{2}) - F(x_{1}) P{x1X≤x2}P{X≤x2}−P{X≤x1}F(x2)−F(x1)
性质 0 ≤ F ( x ) ≤ 1 , x ∈ R 0 \leq F(x) \leq 1 , x \in R 0≤F(x)≤1,x∈R F ( − ∞ ) lim x → − ∞ F ( x ) 0 F(- \infty) \lim\limits_{x \rightarrow - \infty}{F(x)} 0 F(−∞)x→−∞limF(x)0 F ( ∞ ) lim x → ∞ F ( x ) 1 F( \infty) \lim\limits_{x \rightarrow \infty}{F(x)} 1 F(∞)x→∞limF(x)1 F ( x ) F(x) F(x)是单调不减的函数即 F ( x 1 ) ≤ F ( x 2 ) , x 1 x 2 F(x_{1}) \leq F(x_{2}) , x_{1} x_{2} F(x1)≤F(x2),x1x2事实上 F ( x 2 ) − F ( x 1 ) P { x 1 X ≤ x 2 } ≥ 0 F(x_{2}) - F(x_{1}) P\set{x_{1} X \leq x_{2}} \geq 0 F(x2)−F(x1)P{x1X≤x2}≥0故 F ( x 1 ) ≤ F ( x 2 ) F(x_{1}) \leq F(x_{2}) F(x1)≤F(x2) F ( x ) F(x) F(x)右连续即 F ( x ) F ( x 0 ) F(x) F(x 0) F(x)F(x0) 满足上述 4 4 4个性质的函数也一定是某个随机变量的分布函数
离散型随机变量的分布函数 设 F ( x ) F(x) F(x)是离散型随机变量 X X X的分布函数则 F ( x ) P { X ≤ x } P { ⋃ x k ≤ x ( X x k ) } ∑ x k ≤ x P { X x k } ∑ x k ≤ x p k F(x) P\set{X \leq x} P\set{\bigcup\limits_{x_{k} \leq x}{(X x_{k})}} \sum\limits_{x_{k} \leq x}{P\set{X x_{k}}} \sum\limits_{x_{k} \leq x}{p_{k}} F(x)P{X≤x}P{xk≤x⋃(Xxk)}xk≤x∑P{Xxk}xk≤x∑pk其中和式是对于所有 x k ≤ x x_{k} \leq x xk≤x的指标 k k k求和 p k P { X x k } F ( x k ) − F ( x k − 0 ) p_{k} P\set{X x_{k}} F(x_{k}) - F(x_{k} - 0) pkP{Xxk}F(xk)−F(xk−0) 若已知 X X X的分布函数 F ( x ) F(x) F(x)则 P { a ≤ X ≤ b } P { a X ≤ b } P { X a } F ( b ) − F ( a ) P { X a } P\set{a \leq X \leq b} P\set{a X \leq b} P\set{X a} F(b) - F(a) P\set{X a} P{a≤X≤b}P{aX≤b}P{Xa}F(b)−F(a)P{Xa}
连续型随机变量的分布函数
若 X X X是连续型随机变量其概率密度为 f ( x ) f(x) f(x)则 F ( X ) P { X ≤ x } ∫ − ∞ x f ( t ) d t F(X) P\set{X \leq x} \int_{- \infty}^{x}{f(t) dt} F(X)P{X≤x}∫−∞xf(t)dt即分布函数是概率密度函数的可变上限的定积分在 f ( x ) f(x) f(x)的连续点有 d F ( x ) d x f ( x ) \frac{dF(x)}{dx} f(x) dxdF(x)f(x)即概率密度函数是分布函数的导数
示例1
问题
证明若 X ∼ N ( μ , σ 2 ) X \sim N(\mu, \sigma^{2}) X∼N(μ,σ2)则 Y X − μ σ ∼ N ( 0 , 1 ) Y \frac{X - \mu}{\sigma} \sim N(0, 1) YσX−μ∼N(0,1)
解答 P { a ≤ Y ≤ b } P { a ≤ X − μ σ ≤ b } P { μ σ a ≤ X ≤ μ σ b } ∫ μ σ a μ σ b 1 σ 2 π e − ( x − μ ) 2 2 σ 2 d x P\set{a \leq Y \leq b} P\set{a \leq \frac{X - \mu}{\sigma} \leq b} P\set{\mu \sigma a \leq X \leq \mu \sigma b} \int_{\mu \sigma a}^{\mu \sigma b}{\frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}} e^{- \frac{(x - \mu)^{2}}{2 \sigma^{2}}} dx} P{a≤Y≤b}P{a≤σX−μ≤b}P{μσa≤X≤μσb}∫μσaμσbσ2π 1e−2σ2(x−μ)2dx 令 t x − μ σ t \frac{x - \mu}{\sigma} tσx−μ得 P { a ≤ Y ≤ b } ∫ a b 1 2 π e − t 2 2 d t P\set{a \leq Y \leq b} \int_{a}^{b}{\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{- \frac{t^{2}}{2}} dt} P{a≤Y≤b}∫ab2π 1e−2t2dt则 Y ∼ N ( 0 , 1 ) Y \sim N(0, 1) Y∼N(0,1)
正态随机变量 若 X ∼ N ( μ , σ 2 ) X \sim N(\mu, \sigma^{2}) X∼N(μ,σ2)则 Y a X b ∼ N ( a μ b , ∣ a ∣ 2 σ 2 ) Y aX b \sim N(a \mu b, |a|^{2} \sigma^{2}) YaXb∼N(aμb,∣a∣2σ2)正态随机变量的线性函数仍为正态随机变量 对于标准正态分布通常用 φ ( x ) \varphi(x) φ(x)表示概率密度函数用 Φ ( x ) \Phi(x) Φ(x)表示分布函数 因 φ ( x ) \varphi(x) φ(x)是偶函数即 φ ( − x ) φ ( x ) \varphi(- x) \varphi(x) φ(−x)φ(x)于是 Φ ( − x ) 1 − Φ ( x ) \Phi(- x) 1 - \Phi(x) Φ(−x)1−Φ(x)事实上 Φ ( − x ) ∫ − ∞ − x φ ( t ) d t ∫ x ∞ φ ( u ) d u ( 令 t − u ) ∫ − ∞ ∞ φ ( u ) d u − ∫ − ∞ x φ ( u ) d u 1 − Φ ( x ) \Phi(- x) \int_{- \infty}^{- x}{\varphi(t) dt} \int_{x}^{ \infty}{\varphi(u) du} (令 t - u) \int_{- \infty}^{ \infty}{\varphi(u) du} - \int_{- \infty}^{x}{\varphi(u) du} 1 - \Phi(x) Φ(−x)∫−∞−xφ(t)dt∫x∞φ(u)du(令t−u)∫−∞∞φ(u)du−∫−∞xφ(u)du1−Φ(x) 正态分布 N ( μ , σ 2 ) N(\mu, \sigma^{2}) N(μ,σ2)的分布函数 F ( x ) Φ ( x − μ σ ) F(x) \Phi(\frac{x - \mu}{\sigma}) F(x)Φ(σx−μ)
示例
问题
设 X ∼ N ( μ , σ 2 ) X \sim N(\mu, \sigma^{2}) X∼N(μ,σ2)求 P { ∣ X − μ ∣ σ } P\set{|X - \mu| \sigma} P{∣X−μ∣σ} P { ∣ X − μ ∣ 2 σ } P\set{|X - \mu| 2 \sigma} P{∣X−μ∣2σ} P { ∣ X − μ ∣ 3 σ } P\set{|X - \mu| 3 \sigma} P{∣X−μ∣3σ}
解答 P { ∣ X − μ ∣ σ } P { μ − σ X μ σ } Φ ( μ σ − μ σ ) − Φ ( μ − σ − μ σ ) Φ ( 1 ) − Φ ( − 1 ) 2 Φ ( 1 ) − 1 0.6827 P\set{|X - \mu| \sigma} P\set{\mu - \sigma X \mu \sigma} \Phi(\frac{\mu \sigma - \mu}{\sigma}) - \Phi(\frac{\mu - \sigma - \mu}{\sigma}) \Phi(1) - \Phi(- 1) 2 \Phi(1) - 1 0.6827 P{∣X−μ∣σ}P{μ−σXμσ}Φ(σμσ−μ)−Φ(σμ−σ−μ)Φ(1)−Φ(−1)2Φ(1)−10.6827 P { ∣ X − μ ∣ 2 σ } 0.9545 P\set{|X - \mu| 2 \sigma} 0.9545 P{∣X−μ∣2σ}0.9545 P { ∣ X − μ ∣ 3 σ } 0.9973 P\set{|X - \mu| 3 \sigma} 0.9973 P{∣X−μ∣3σ}0.9973 X X X几乎全部落在 ( μ − 3 σ , μ 3 σ ) (\mu - 3 \sigma, \mu 3 \sigma) (μ−3σ,μ3σ)区间内称为三倍标准差原则 3 σ 3 \sigma 3σ准则
示例2
问题
设 F 1 ( x ) F_{1}(x) F1(x)和 F 2 ( x ) F_{2}(x) F2(x)都是分布函数 a 0 a 0 a0 b 0 b 0 b0均为常数且 a b 1 a b 1 ab1
1
求证 F ( x ) a F 1 ( x ) b F 2 ( x ) F(x) a F_{1}(x) b F_{2}(x) F(x)aF1(x)bF2(x)也是一个分布函数
2
由此讨论分布函数是否只有离散型和连续型两种类型
解答
1
因 F 1 ( x ) F_{1}(x) F1(x) F 2 ( x ) F_{2}(x) F2(x)均为分布函数则由分布函数的性质得当 x 1 x 2 x_{1} x_{2} x1x2时有 F 1 ( x 1 ) ≤ F 1 ( x 2 ) F_{1}(x_{1}) \leq F_{1}(x_{2}) F1(x1)≤F1(x2) F 2 ( x 1 ) ≤ F 2 ( x 2 ) F_{2}(x_{1}) \leq F_{2}(x_{2}) F2(x1)≤F2(x2) F ( x 1 ) a F 1 ( x 1 ) b F 2 ( x 1 ) ≤ a F 1 ( x 2 ) b F 2 ( x 2 ) F ( x 2 ) F(x_{1}) a F_{1}(x_{1}) b F_{2}(x_{1}) \leq a F_{1}(x_{2}) b F_{2}(x_{2}) F(x_{2}) F(x1)aF1(x1)bF2(x1)≤aF1(x2)bF2(x2)F(x2) lim x → − ∞ F ( x ) lim x → − ∞ [ a F 1 ( x ) b F 2 ( x ) ] 0 \lim\limits_{x \rightarrow - \infty}{F(x)} \lim\limits_{x \rightarrow - \infty}{[a F_{1}(x) b F_{2}(x)]} 0 x→−∞limF(x)x→−∞lim[aF1(x)bF2(x)]0 lim x → ∞ F ( x ) lim x → ∞ [ a F 1 ( x ) b F 2 ( x ) ] a b 1 \lim\limits_{x \rightarrow \infty}{F(x)} \lim\limits_{x \rightarrow \infty}{[a F_{1}(x) b F_{2}(x)]} a b 1 x→∞limF(x)x→∞lim[aF1(x)bF2(x)]ab1 F ( x 0 ) a F 1 ( x 0 ) b F 2 ( x 0 ) a F 1 ( x ) b F 2 ( x ) F ( x ) F(x 0) a F_{1}(x 0) b F_{2}(x 0) a F_{1}(x) b F_{2}(x) F(x) F(x0)aF1(x0)bF2(x0)aF1(x)bF2(x)F(x)因此 F ( x ) F(x) F(x)也是分布函数
2
取 a b 1 2 a b \frac{1}{2} ab21并令 F 1 ( x ) { 0 , x 0 1 , x ≥ 0 F_{1}(x) \begin{cases} 0 , x 0 \\ 1 , x \geq 0 \end{cases} F1(x){0,1,x0x≥0 F 2 ( x ) { 0 , x 0 x , 0 ≤ x ≤ 1 1 , x 1 F_{2}(x) \begin{cases} 0 , x 0 \\ x , 0 \leq x \leq 1 \\ 1 , x 1 \end{cases} F2(x)⎩ ⎨ ⎧0,x,1,x00≤x≤1x1则 F ( x ) { 0 , x 0 1 x 2 , 0 ≤ x ≤ 1 1 , x 1 F(x) \begin{cases} 0 , x 0 \\ \frac{1 x}{2} , 0 \leq x \leq 1 \\ 1 , x 1 \end{cases} F(x)⎩ ⎨ ⎧0,21x,1,x00≤x≤1x1显然此分布函数 F ( x ) F(x) F(x)既不是阶梯函数也不是连续函数于是 F ( x ) F(x) F(x)所对应的随机变量既不是离散型也不是连续型这就是说随机变量并非只有离散型和连续型两大类型 随机变量函数的分布 离散型随机变量函数的分布
设随机变量 X X X的分布律 P { X x k } p k , k 1 , 2 , ⋯ P\set{X x_{k}} p_{k} , k 1, 2, \cdots P{Xxk}pk,k1,2,⋯则当 Y g ( X ) Y g(X) Yg(X)的所有取值为 y j ( j 1 , 2 , ⋯ ) y_{j} (j 1, 2, \cdots) yj(j1,2,⋯)时随机变量 Y Y Y的分布律为 P { Y y j } q j , j 1 , 2 , ⋯ P\set{Y y_{j}} q_{j} , j 1, 2, \cdots P{Yyj}qj,j1,2,⋯其中 q j q_{j} qj是所有满足 g ( x i ) y j g(x_{i}) y_{j} g(xi)yj的 x i x_{i} xi对应的 X X X的概率 P { X x i } p i P\set{X x_{i}} p_{i} P{Xxi}pi的和即 P { Y y j } ∑ g ( x i ) y j P { X x i } P\set{Y y_{j}} \sum\limits_{g(x_{i}) y_{j}}{P\set{X x_{i}}} P{Yyj}g(xi)yj∑P{Xxi} 连续型随机变量函数的分布
示例1
问题
设随机变量 X X X的概率密度为 f X ( x ) f_{X}(x) fX(x)求 Y a X b Y aX b YaXb a a a b b b为常数且 a ≠ 0 a \neq 0 a0的概率密度
解答
设 X X X和 Y Y Y的分布函数分别为 F X ( x ) F_{X}(x) FX(x)和 F Y ( y ) F_{Y}(y) FY(y) Y Y Y的概率密度为 f Y ( y ) f_{Y}(y) fY(y)由分布函数定义得 F Y ( y ) P { Y ≤ y } P { a X b ≤ y } F_{Y}(y) P\set{Y \leq y} P\set{aX b \leq y} FY(y)P{Y≤y}P{aXb≤y}当 a 0 a 0 a0时有 F Y ( y ) P { X ≤ y − b a } F X ( y − b a ) ∫ − ∞ y − b a f X ( x ) d x F_{Y}(y) P\set{X \leq \frac{y - b}{a}} F_{X}(\frac{y - b}{a}) \int_{- \infty}^{\frac{y - b}{a}}{f_{X}(x) dx} FY(y)P{X≤ay−b}FX(ay−b)∫−∞ay−bfX(x)dx当 a 0 a 0 a0时有 F Y ( y ) P { X ≥ y − b a } ∫ y − b a ∞ f X ( x ) d x − ∫ − ∞ y f X ( t − b a ) ⋅ 1 a d t , ( 令 x t − b a ) F_{Y}(y) P\set{X \geq \frac{y - b}{a}} \int_{\frac{y - b}{a}}^{ \infty}{f_{X}(x) dx} - \int_{- \infty}^{y}{f_{X}(\frac{t - b}{a}) \cdot \frac{1}{a} dt} , (令 x \frac{t - b}{a}) FY(y)P{X≥ay−b}∫ay−b∞fX(x)dx−∫−∞yfX(at−b)⋅a1dt,(令xat−b)对 F Y ( y ) F_{Y}(y) FY(y)求导得 Y Y Y的概率密度 f Y ( y ) { 1 a f X ( y − b a ) , a 0 − 1 a f X ( y − b a ) , a 0 f_{Y}(y) \begin{cases} \cfrac{1}{a} f_{X} (\cfrac{y - b}{a}) , a 0 \\ - \cfrac{1}{a} f_{X} (\cfrac{y - b}{a}) , a 0 \end{cases} fY(y)⎩ ⎨ ⎧a1fX(ay−b),−a1fX(ay−b),a0a0 即 f Y ( y ) 1 ∣ a ∣ f X ( y − b a ) ( a ≠ 0 , y ∈ R ) f_{Y}(y) \frac{1}{|a|} f_{X}(\frac{y - b}{a}) (a \neq 0 , y \in R) fY(y)∣a∣1fX(ay−b)(a0,y∈R) y f ( x ) y f(x) yf(x)的反函数为 x h ( y ) y − b a x h(y) \frac{y - b}{a} xh(y)ay−b且 ∣ h ′ ( y ) ∣ 1 ∣ a ∣ |h^{}(y)| \frac{1}{|a|} ∣h′(y)∣∣a∣1故 f Y ( y ) f X ( h ( y ) ) ⋅ ∣ h ′ ( y ) ∣ f_{Y}(y) f_{X}(h(y)) \cdot |h^{}(y)| fY(y)fX(h(y))⋅∣h′(y)∣
定理1
设 X X X为连续型随机变量 f X ( x ) f_{X}(x) fX(x)为 X X X的概率密度若 y g ( x ) y g(x) yg(x)为严格单调的连续函数且反函数 x h ( y ) x h(y) xh(y)有连续导数则 Y g ( X ) Y g(X) Yg(X)为连续型随机变量且概率密度为 f Y ( y ) f X [ h ( y ) ] ⋅ ∣ h ′ ( y ) ∣ f_{Y}(y) f_{X}[h(y)] \cdot |h^{}(y)| fY(y)fX[h(y)]⋅∣h′(y)∣
证明 设 y g ( x ) y g(x) yg(x)为严格单调增加的连续函数定义域为 ( a , b ) ⊂ ( − ∞ , ∞ ) (a, b) \subset (- \infty, \infty) (a,b)⊂(−∞,∞)值域为 ( α , β ) ⊂ ( − ∞ , ∞ ) (\alpha, \beta) \subset (- \infty, \infty) (α,β)⊂(−∞,∞)则其反函数 x h ( y ) x h(y) xh(y)在 ( α , β ) (\alpha, \beta) (α,β)上也为严格单调增加的连续函数 h ′ ( y ) 0 h^{}(y) 0 h′(y)0 F Y ( y ) P { Y ≤ y } P { g ( X ) ≤ y } P { X ≤ h ( y ) } ∫ − ∞ h ( y ) f X ( x ) d x ∫ a h ( y ) f X ( x ) d x F_{Y}(y) P\set{Y \leq y} P\set{g(X) \leq y} P\set{X \leq h(y)} \int_{- \infty}^{h(y)}{f_{X}(x) dx} \int_{a}^{h(y)}{f_{X}(x) dx} FY(y)P{Y≤y}P{g(X)≤y}P{X≤h(y)}∫−∞h(y)fX(x)dx∫ah(y)fX(x)dx f Y ( y ) F Y ′ ( y ) f X [ h ( y ) ] ⋅ h ′ ( y ) , h ′ ( y ) 0 f_{Y}(y) F_{Y}^{}{(y)} f_{X}[h(y)] \cdot h^{}(y) , h^{}(y) 0 fY(y)FY′(y)fX[h(y)]⋅h′(y),h′(y)0 类似地当 y g ( x ) y g(x) yg(x)为严格单调减少时有 f Y ( y ) − f X [ h ( y ) ] ⋅ h ′ ( y ) , h ′ ( y ) 0 f_{Y}(y) - f_{X}[h(y)] \cdot h^{}(y) , h^{}(y) 0 fY(y)−fX[h(y)]⋅h′(y),h′(y)0
定理2
设 Y g ( X ) Y g(X) Yg(X) X X X为连续型随机变量 f X ( x ) f_{X}(x) fX(x)为 X X X的概率密度若 y g ( x ) y g(x) yg(x)为连续函数它在不相重叠的区间 I 1 I_{1} I1 I 2 I_{2} I2 ⋯ \cdots ⋯上逐段严格单调对应的反函数分别为 h 1 ( y ) h_{1}(y) h1(y) h 2 ( y ) h_{2}(y) h2(y) ⋯ \cdots ⋯而且 h 1 ′ ( y ) h_{1}^{}{(y)} h1′(y) h 2 ′ ( y ) h_{2}^{}{(y)} h2′(y) ⋯ \cdots ⋯均连续则 Y g ( X ) Y g(X) Yg(X)为连续型随机变量且其概率密度为 f Y ( y ) ∑ i f X [ h i ( y ) ] ⋅ ∣ h i ′ ( y ) ∣ f_{Y}(y) \sum\limits_{i}{f_{X}[h_{i}(y)] \cdot |h_{i}^{}{(y)}|} fY(y)i∑fX[hi(y)]⋅∣hi′(y)∣约定对使反函数 h ( y ) h(y) h(y)或其导数 h ′ ( y ) h^{}(y) h′(y)无意义的 y y y f Y ( y ) 0 f_{Y}(y) 0 fY(y)0
示例2
问题
设质点 M M M随机地落在以原点为圆心以 R R R为半径的圆周上且对弧长是均匀分布的求质点 M M M的横坐标 X X X的概率密度
解答
设 Z Z Z为 x x x轴与 O M OM OM的夹角则 X R cos Z X R \cos{Z} XRcosZ据题意知 Z ∼ U [ − π , π ] Z \sim U[- \pi, \pi] Z∼U[−π,π]其概率密度为 f Z ( z ) { 1 2 π , − π ≤ z ≤ π 0 , 其他 f_{Z}(z) \begin{cases} \cfrac{1}{2 \pi} , - \pi \leq z \leq \pi \\ 0 , 其他 \end{cases} fZ(z)⎩ ⎨ ⎧2π1,0,−π≤z≤π其他
解法一 F X ( x ) P { X ≤ x } P { R cos z ≤ x } P { cos z ≤ x R } , ∀ x ∈ ( − ∞ , ∞ ) F_{X}(x) P\set{X \leq x} P\set{R \cos{z} \leq x} P\set{\cos{z} \leq \frac{x}{R}} , \forall x \in (- \infty, \infty) FX(x)P{X≤x}P{Rcosz≤x}P{cosz≤Rx},∀x∈(−∞,∞)当 x ≤ − R x \leq - R x≤−R时 F X ( x ) 0 F_{X}(x) 0 FX(x)0 f X ( x ) 0 f_{X}(x) 0 fX(x)0当 x ≥ R x \geq R x≥R时 F X ( x ) 1 F_{X}(x) 1 FX(x)1 f X ( x ) 0 f_{X}(x) 0 fX(x)0当 − R x R - R x R −RxR时 F X ( x ) P { R cos z ≤ x } P { cos z ≤ x R } P { − π ≤ z ≤ − arccos x R } P { arccos x R ≤ z ≤ π } F Z ( − arccos x R ) − F Z ( − π ) F Z ( π ) − F Z ( arccos x R ) \begin{aligned} F_{X}(x) P\set{R \cos{z} \leq x} P\set{\cos{z} \leq \frac{x}{R}} \\ P\set{- \pi \leq z \leq - \arccos{\frac{x}{R}}} P\set{\arccos{\frac{x}{R}} \leq z \leq \pi} \\ F_{Z}(- \arccos{\frac{x}{R}}) - F_{Z}(- \pi) F_{Z}(\pi) - F_{Z}(\arccos{\frac{x}{R}}) \end{aligned} FX(x)P{Rcosz≤x}P{cosz≤Rx}P{−π≤z≤−arccosRx}P{arccosRx≤z≤π}FZ(−arccosRx)−FZ(−π)FZ(π)−FZ(arccosRx)
于是 f X ( x ) F X ′ ( x ) f Z ( − arccos x R ) ⋅ 1 1 − ( x R ) 2 ⋅ 1 R f Z ( arccos x R ) ⋅ 1 1 − ( x R ) 2 ⋅ 1 R 1 π R 2 − x 2 f_{X}(x) F_{X}^{}{(x)} f_{Z}(- \arccos{\frac{x}{R}}) \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - (\frac{x}{R})^{2}}} \cdot \frac{1}{R} f_{Z}(\arccos{\frac{x}{R}}) \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - (\frac{x}{R})^{2}}} \cdot \frac{1}{R} \frac{1}{\pi \sqrt{R^{2} - x^{2}}} fX(x)FX′(x)fZ(−arccosRx)⋅1−(Rx)2 1⋅R1fZ(arccosRx)⋅1−(Rx)2 1⋅R1πR2−x2 1 f X ( x ) { 1 π R 2 − x 2 , ∣ x ∣ R 0 , ∣ x ∣ ≥ R f_{X}(x) \begin{cases} \frac{1}{\pi \sqrt{R^{2} - x^{2}}} , |x| R \\ 0 , |x| \geq R \end{cases} fX(x){πR2−x2 1,0,∣x∣R∣x∣≥R
解法二
因为 x R cos z x R \cos{z} xRcosz在 ( − π , 0 ) (- \pi, 0) (−π,0)和 ( 0 , π ) (0, \pi) (0,π)上分别为严格单调的连续函数相应的反函数分别为 z 1 h 1 ( x ) − arccos x R z_{1} h_{1}(x) - \arccos{\frac{x}{R}} z1h1(x)−arccosRx z 2 h 2 ( x ) arccos x R , ∣ x ∣ R z_{2} h_{2}(x) \arccos{\frac{x}{R}} , |x| R z2h2(x)arccosRx,∣x∣R f X ( x ) f Z ( − arccos x R ) ∣ ( − arccos x R ) ′ ∣ f Z ( arccos x R ) ∣ ( arccos x R ) ′ ∣ 1 π R 2 − x 2 , ∣ x ∣ R f_{X}(x) f_{Z}(- \arccos{\frac{x}{R}}) |(- \arccos{\frac{x}{R}})^{}| f_{Z}(\arccos{\frac{x}{R}}) |(\arccos{\frac{x}{R}})^{}| \frac{1}{\pi \sqrt{R^{2} - x^{2}}} , |x| R fX(x)fZ(−arccosRx)∣(−arccosRx)′∣fZ(arccosRx)∣(arccosRx)′∣πR2−x2 1,∣x∣R当 ∣ x ∣ ≥ R |x| \geq R ∣x∣≥R时 f X ( x ) 0 f_{X}(x) 0 fX(x)0
示例3
问题
已知随机变量 X X X的分布函数 F ( x ) F(x) F(x)是严格单调增加的连续函数证明 F ( X ) F(X) F(X)服从 [ 0 , 1 ] [0, 1] [0,1]上的均匀分布
解答 由于 F ( x ) F(x) F(x)是严格单调增加的连续函数 0 ≤ F ( x ) ≤ 1 0 \leq F(x) \leq 1 0≤F(x)≤1因而当 0 ≤ y ≤ 1 0 \leq y \leq 1 0≤y≤1时 y F ( x ) y F(x) yF(x)有反函数 x F − 1 ( y ) x F^{- 1}(y) xF−1(y) 当 y 0 y 0 y0时 F Y ( y ) P { Y ≤ y } P { F ( X ) ≤ y } 0 F_{Y}(y) P\set{Y \leq y} P\set{F(X) \leq y} 0 FY(y)P{Y≤y}P{F(X)≤y}0 当 0 ≤ y 1 0 \leq y 1 0≤y1时 F Y ( y ) P { F ( X ) ≤ y } P { X ≤ F − 1 ( y ) } F ( F − 1 ( y ) ) y F_{Y}(y) P\set{F(X) \leq y} P\set{X \leq F^{- 1}(y)} F(F^{- 1}(y)) y FY(y)P{F(X)≤y}P{X≤F−1(y)}F(F−1(y))y 当 y ≥ 1 y \geq 1 y≥1时 F Y ( y ) P { F ( X ) ≤ y } 1 F_{Y}(y) P\set{F(X) \leq y} 1 FY(y)P{F(X)≤y}1 F Y ( y ) { 0 , y 0 y , 0 ≤ y 1 1 , y ≥ 1 F_{Y}(y) \begin{cases} 0 , y 0 \\ y , 0 \leq y 1 \\ 1 , y \geq 1 \end{cases} FY(y)⎩ ⎨ ⎧0,y,1,y00≤y1y≥1 f Y ( y ) { 1 , 0 ≤ y ≤ 1 0 , 其他 f_{Y}(y) \begin{cases} 1 , 0 \leq y \leq 1 \\ 0 , 其他 \end{cases} fY(y){1,0,0≤y≤1其他 即 Y ∼ U [ 0 , 1 ] Y \sim U[0, 1] Y∼U[0,1] 该命题广泛用于计算机仿真模拟中
