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目录
树概念及结构
名词概念
二叉树概念及结构
特殊的二叉树
满二叉树
完全二叉树
运算性质
二叉树存储结构
顺序存储
链式存储
堆 - 顺序存储
堆的性质
堆的实现
堆的应用
堆排序
直接建堆法 树概念及结构 概念#xff1a…用于复习
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树概念及结构
名词概念
二叉树概念及结构
特殊的二叉树
满二叉树
完全二叉树
运算性质
二叉树存储结构
顺序存储
链式存储
堆 - 顺序存储
堆的性质
堆的实现
堆的应用
堆排序
直接建堆法 树概念及结构 概念非线性的数据结构形成的倒挂似树的结构 - 根朝上叶朝下子树之间不能有交集。 名词概念
节点的度一个节点含有的子树的个数称为该节点的度。叶节点或终端节点度为0的节点称为叶节点。非终端节点或分支节点度不为0的节点。双亲节点或父节点若一个节点含有子节点则这个节点称为其子节点的父节点。孩子节点或子节点一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点。兄弟节点具有相同父节点的节点互称为兄弟节点。树的度一棵树中最大的节点的度称为树的度。节点的层次从根开始定义起根为第1层根的子节点为第2层以此类推。树的高度或深度树中节点的最大层次。堂兄弟节点双亲在同一层的节点互为堂兄弟。节点的祖先从根到该节点所经分支上的所有节点。子孙以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。森林由mm0棵互不相交的树的集合称为森林。
二叉树概念及结构 由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成 - 子树可为空。 不存在度大于2的结点。 特殊的二叉树
满二叉树 每一个层的结点数都达到最大值则结点总数2^k - 1K层数。 完全二叉树 特殊的完全二叉树 - 最后一层不满但是是左到右是连续的。 满二叉树是特殊的完全二叉树
运算性质
根节点的层数为1则第i层上最多有2^(i - 1)个结点 根节点的层数为1则深度h的最大结点数是2^h - 1 根节点的层数为1n个结点的满二叉树的深度h log2(n 1) 如果度为0其叶结点个数为n度为2的分支结点个数为m则有n m 1 n个结点的完全二叉树以数组顺序对所有节点开始编号 若i0i位置节点的双亲序号(i - 1) / 2若2i 1 n左孩子序号2i 12i 1 n否则无左孩子若2i 2 n右孩子序号2i 22i 2 n否则无右孩子 一个具有767个节点的完全二叉树其叶子节点个数为 A、383 B、384 C、385 D、386 ------------------------------------------ 正确答案B ------------------------------------------ 解析 不要只想最后一层倒数第二层也是会有叶子节点的。 首先以 可以推算出是第1 ~ 9层为满二叉树对应节点数511。可以知道最后一层一定为叶子节点256个。 然后根据完全二叉树是最后一层不满但是是左到右是连续的于是256 / 2 128所以倒数第二层有128个是最后一层的父节点。 再根据 可知倒数第二层有256个节点于是叶子节点256 256 - 128 384。 二叉树存储结构
顺序存储 用数组来存储适合表示完全二叉树。
物理上数组逻辑上二叉树 链式存储 用链表来表示一棵二叉树。
二叉链数据域和左右指针域三叉链数据域和左右上指针域 堆 - 顺序存储 堆是一种特殊的完全二叉树只不过父亲与儿子节点间有关系。顺序存储的完全二叉树典型的就是堆。(普通的二叉树是不适合用数组来存储的因为可能会存在大量的空间浪费。而完全二叉树更适合使用顺序结构存储)
堆的性质
堆中某个节点的值总是不大于或不小于其父节点的值 小堆父亲位比孩子位要小大堆父亲位比孩子位要大堆总是一棵完全二叉树 堆的实现
#include iostream
#include cassertnamespace qcr_heap
{typedef int HeapType;struct Heap{int64_t _capacity; // 动态开辟可用大小int64_t _size; // 实际数据占用大小HeapType *_array; // 动态开辟一维数组};/********** 初始化堆*********/void HeapInit(Heap *heap){assert(heap);heap-_capacity 0;heap-_size 0;heap-_array 0;}/********** 销毁堆*********/void HeapDestory(Heap *heap){assert(heap);heap-_capacity 0;heap-_size 0;free(heap-_array);heap-_array nullptr;}/********** 小根堆*********/bool less(HeapType element_1, HeapType element_2){return element_1 element_2;}/********** 大根堆*********/bool greater(HeapType element_1, HeapType element_2){return element_1 element_2;}/********** 交换数据*********/void swap(HeapType *element_1, HeapType *element_2){HeapType tmp *element_1;*element_1 *element_2;*element_2 tmp;}/****************************** 向上调整* heap: 输入型参数堆地址* child: 输入型参数排序的插入节点* Func: 输入型参数大小堆*****************************/void AdjustUp(Heap *heap, int64_t child, bool (*Func)(HeapType, HeapType)){assert(heap);int64_t parent (child - 1) / 2;while (child 0){if (Func(heap-_array[child], heap-_array[parent])){swap((heap-_array[child]), (heap-_array[parent]));child parent;parent (child - 1) / 2;}elsebreak;}}/****************************** 向下调整* heap: 输入型参数堆地址* root: 输入型参数排序的根节点* Func: 输入型参数大小堆*****************************/void AdjustDown(Heap *heap, int64_t root, bool (*Func)(HeapType, HeapType)){assert(heap);int64_t parent root;int64_t child parent * 2 1;while (child heap-_size){if (child 1 heap-_size Func(heap-_array[child 1], heap-_array[child])){child;}if (Func(heap-_array[child], heap-_array[parent])){swap((heap-_array[child]), (heap-_array[parent]));parent child;child parent * 2 1;}else{break; // 符合堆就成立了就没必要进行交换了。}}}/****************************** 存入数据* heap: 输入型参数堆地址* data: 输入型参数插入的数据* Func: 输入型参数大小堆*****************************/void HeapPush(Heap *heap, HeapType data, bool (*Func)(HeapType, HeapType)){assert(heap);if (heap-_capacity heap-_size){int64_t newcapacity heap-_capacity 0 ? 5 : heap-_capacity * 2;HeapType * tmp (HeapType *)realloc(heap-_array, heap-_capacity*sizeof(HeapType);if (tmp nullptr){printf(Capacuty Get Error!\n);exit(-1);}heap-_array tmp;heap-_capacity newcapacity;}heap-_array[heap-_size] data;AdjustUp(heap, heap-_size, Func);(heap-_size);}/****************************** 按顺序全部输出* heap: 输入型参数堆地址*****************************/void HeapPrint(Heap *heap){assert(heap);for (uint64_t i 0; i heap-_size; i){std::cout heap-_array[i] ;}std::cout \n;}/****************************** 首元素* heap: 输入型参数堆地址*****************************/HeapType HeapTop(Heap *heap){assert(heap);assert(heap-_size 0);return heap-_array[0];}/****************************** 判空* heap: 输入型参数堆地址*****************************/bool HeapEmpty(Heap *heap){assert(heap);return heap-_size 0;}/****************************** 有效数据个数* heap: 输入型参数堆地址*****************************/int HeapSize(Heap *heap){assert(heap);return heap-_size;}/****************************** 判空* heap: 输入型参数堆地址* Func: 输入型参数大小堆*****************************/void HeapPop(Heap *heap, bool (*Func)(HeapType, HeapType)){assert(heap);assert(heap-_size 0);heap-_array[0] heap-_array[heap-_size - 1];(heap-_size)--;AdjustDown(heap, 0, Func);}
} 已知小根堆为8,15,10,21,34,16,12删除关键字 8 之后需重建堆在此过程中关键字之间的比较次数是 A、1 B、2 C、3 D、4 ------------------------------------------ 正确答案B ------------------------------------------ 解析 首先我们需要知道删除对应的调整算法是向下调整所以其实在比较中有一个很重要的一项就是左右节点的比较于是此处本质上的比较是需要在加上一次左右节点的比较。 堆的应用
堆排序 利用堆删除思想来进行排序。
TOP-K问题
1. 用数据集合中前K个元素来建堆
前k个最大的元素则建小堆前k个最小的元素则建大堆 2. 用剩余的N-K个元素依次与堆顶元素来比较不满足则替换堆顶元素 面试题 17.14. 最小K个数 - 力扣LeetCode class Solution
{
public:// 向上建堆void adjustUp(vectorint nums, int child){int parent (child - 1) / 2;while (child 0){if (nums[child] nums[parent]){swap(nums[child], nums[parent]);child parent;parent (child - 1) / 2;}else{break;}}}// 向下建堆void adjustDown(vectorint nums, int parent){int child parent * 2 1;while (child nums.size()){if (child 1 nums.size() nums[child 1] nums[child]){child;}if (nums[child] nums[parent]){swap(nums[child], nums[parent]);parent child;child parent * 2 1;}else{break;}}}// 堆排序的TOP-k问题vectorint smallestK(vectorint arr, int k){vectorint nums;nums.reserve(k);// 前K个元素来建堆for (int i 0; i k; i){nums.push_back(arr[i]);adjustUp(nums, nums.size() - 1);}// 对比堆顶元素if (k ! 0){for (int i k; i arr.size(); i){if (arr[i] nums[0]){nums[0] arr[i];adjustDown(nums, 0);}}}return nums;}
}; 并不是最优的并且还实现了两个堆算法编码效率过低。 直接建堆法 原本利用向上建堆的方式是并不够完美的建堆的时间复杂度为O(N)。 而直接建堆法时间复杂度O(logn)其根本是利用向下建堆实现。 for (int i (size - 1 - 1) / 2; i 0; i--)
{ADjustDown(nums, i);
} class Solution
{
public:// 向下建堆void adjustDown(vectorint nums, int parent){int child parent * 2 1;while (child nums.size()){if (child 1 nums.size() nums[child 1] nums[child]){child;}if (nums[child] nums[parent]){swap(nums[child], nums[parent]);parent child;child parent * 2 1;}else{break;}}}// 堆排序的TOP-k问题vectorint smallestK(vectorint arr, int k){vectorint nums;nums.reserve(k);// 前K个元素来建堆for (int i 0; i k; i){nums.push_back(arr[i]);}for(int i (k - 1 - 1) / 2; i 0; i--){adjustDown(nums, i);}// 对比堆顶元素if (k ! 0){for (int i k; i arr.size(); i){if (arr[i] nums[0]){nums[0] arr[i];adjustDown(nums, 0);}}}return nums;}
};
