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一、区域Ω的剖分
二、三角形一次元
三、一次元的基函数与面积坐标
四、三角形二次元及其基函数 前两节我们介绍了有限元基本概念和变分理论的推导#xff0c;本节我们继续探讨有限元空间的构造。
一、区域Ω的剖分 对矩形区域进行三角剖分#xff0c;其中x方向剖…目录
一、区域Ω的剖分
二、三角形一次元
三、一次元的基函数与面积坐标
四、三角形二次元及其基函数 前两节我们介绍了有限元基本概念和变分理论的推导本节我们继续探讨有限元空间的构造。
一、区域Ω的剖分 对矩形区域进行三角剖分其中x方向剖分m份y方向剖分n份共得到个节点及个三角形单元。图1是的剖分情况节点编号用数字表示单元用带圈的数字表示。为了实现后面的程序编写必须明确单元上的局部编号与整体编号如图2所示。通过设置剖分数可以建立单元上整体编号与局部编号之间的关系可设置二维数组第一个参数为单元编号第二个参数为局部节点编号如等表示第3个单元第0号局部节点的整体节点编号为8而则表示第2个单元第1号局部节点的整体节点编号为2。可以通过循环设置所有的节点。 图1 三角形剖分 图2 三角形单元的整体编号i,j,k与局部编号0,1,2 二、三角形一次元 前面两节提到可以选取为分片连续的一次多项式函数空间也就是在每个单元e上中的函数都是一次多项式且要保证整体连续。因此对于相邻的两个三角形单元它们有一条公共边只要保证分片一次多项式在这条公共边的两个端点也是剖分节点处函数值相同即可保证函数整体连续。这样分片一次多项式在每个单元上的表达式就可以由它在3个顶点处的值唯一确定。下面在节点对应整体编号为ijk的单元e上考虑数值解的表达式尝试用基函数来表示其中为待定基函数满足以下性质 且它们都是一次函数。这样数值解在单元e上的表达式完全由它在3个顶点处处的值决定可以看作精确解u在整体编号ijk的节点处的近似。一旦把所有求出来边界点除外因为从而边界节点处的值为零则数值解的表达式也就确定了。所以现在的基本问题是对离散问题式
求使得
建立的关系式。
三、一次元的基函数与面积坐标 由于基函数在单元e上是一次多项式尝试设其中abc为待定系数且单元e上s号节点的坐标为则由条件公式1可知 从而解出 代入可得 可以证明以逆时针排列为顶点的三角形单元e的面积。 于是若内有一点P的坐标为如图3所示则 图3 三角形单元 同理 注意到显然有 也就是说不是相互独立的。换言之内任一点必然可以唯一对应一组坐标基函数被称为重心坐标。由于它们又都是三角形的面积比所以它们也称为面积坐标。面积坐标在有限元分析中非常重要它是从一般单元变化到标准单元的工具也是进行Sobolev空间范数估计的有效手段。事实上公式4、5可以反解出直角坐标与重心坐标之间的对应关系式 从而可以实现将一般的三角形单元变换成标准单元如图4所示。 图4 利用仿射坐标变换从一般单元变到标准单元 四、三角形二次元及其基函数 我们除了可以选取为分片连续的一次多项式函数空间外也可以选取为分片连续的二次多项式函数空间也就是在每个单元e上中的函数都是二次多项式且要保证整体连续。因此在每个单元e上中的分片二次多项式函数就形如其中均为待定常数从而需要有6个条件来唯一确定这个表达式。与一次元相似要确定这6个常数我们可以取三角形单元e的3个顶点及3条边的中点值作为条件这些条件称为自由度即分片二次多项式在每个单元上的表达式就可以由它在这个单元3个顶点和3条边的中点处的值唯一确定这样也可以保证函数的整体连续性。事实上在相邻的两个三角形单元上的公共边上位置变量x和y有一个直线方程的线性约束从而在这条边上成为一个只关于自变量x的二次函数这个函数在3个不同的点两个顶点和一个中点上取值相同说明在公共边上的表达式所示唯一确定的也就是说这个分片二次多项式在相邻两个单元上虽然整体表达式不相同但在其公共边上表达式相同这就保证了函数在上整体连续从而实现。 对于以上的三角形二次元由于涉及到三角形单元的中点所以尽管三角形剖分情况不变即共有2mn个三角形单元但整体节点数变为个且节点的编号将随之发生改变。例如图1将变为图5。 图5 三角形剖分及二次元节点图各顶点也包含在内 接下来在单元e上考虑数值解的表达式其中e的3个顶点为对应整体编号为ijk3条边的中点为对应整体编号为如图6。 图6 三角形二次元 在单元e上的表达式尝试用基函数表示为 其中为待定基函数满足以下性质 利用重心坐标很容易将上述基函数表示出来即有分别对应于三角形单元3个顶点的基函数 及对应于三角形3条边中点的 基函数 至此数值解 在单元e上的表达式就确定为 综上有限元空间由一个三元组确定。具体的设是区域Ω的一个剖分e是剖分中的单元参数h定义为所有单元的最大直径即是选定的分片多项式函数空间是每个e上用于唯一确定内的多项式函数所需要的条件。
