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1.Frenet 坐标系
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1.Frenet 坐标系
什么是 Frenet 坐标系 为什么使用 Frenet 坐标系 通常情况我们只会关注车辆当前距离左右车道线的距离来判断是否偏离车道是否需要打方向盘进行方向微调。而不是基于汽车的出发点那样就太远了 往往道路是弯曲的在直角坐标系下要计算出车辆行驶的距离要考虑道路曲率会非常麻烦。而在Frenet坐标系中原点所在参考线与车道中心线平行容易确定车辆偏离车道中心线的距离以及车辆沿车道中心线的行驶距离。因此使用Frenet坐标系可以忽略道路曲率的影响让道路表达更加直观、简洁。 Frenet 坐标系相当于把道路抻直了 2.笛卡尔坐标系 3.两者转换
在实践中只需要记住结论 推导博客 某一时刻假设车辆质心在全局笛卡尔坐标系下的坐标为xy **原点**车辆质心到参考线上的投影点称为 原点切线方向称为s轴方向或纵轴方向 原点法线方向称为d轴方向或横轴方向 s值指的是参考线上的原点与起点之间曲线的长度也就是车辆在道路上的纵向行驶距离。 d值指的是原点与车辆质心之间的距离也就是车辆偏离道路中心线的距离。 车辆质心随着时间在不断变化因此Frenet坐标系的原点也在不断变换所以Frenet坐标系是一个移动坐标系。
4.存在的问题
输入的坐标往往是笛卡尔坐标在中间预测轨迹时使用 Frenet 坐标最后输出给下游时还要转换成笛卡尔坐标所以需要将 Frenet 和笛卡尔坐标之间相互转换但是将 Frenet 坐标转为笛卡尔坐标会有以下问题
5.参考线生成
如果 Frenet 坐标建立的不够精确就会导致问题越明显所以参考线的生成要满足一下约束最终效果生成一条平滑的曲线
S1 插值扩充点的个数 S2将点与点之间变得平滑 a. 考虑为了使连接成的轨迹尽可能满足平滑的要求参考线之间应该又怎样的性质 直线平滑度最高自车行驶也最容易对应图中theta越小、|P2P4|越小则越接近直线如果 thete 很大就会是一条直线 行驶距离越短越好所以相邻两点距离和应该越小越好 m i n ∑ ∣ ∣ P k P k − 1 ∣ ∣ 2 min\sum ||P_{k}P_{k - 1}||_{2} min∑∣∣PkPk−1∣∣2 点间距越均匀越好 m i n { a b s ( ∣ ∣ P k 1 P k ∣ ∣ 2 − ∣ ∣ P k P k − 1 ∣ ∣ 2 ) } min\left \{ {abs(||P_{k1}P_{k}||_{2} - ||P_{k}P_{k-1}||_{2})} \right \} min{abs(∣∣Pk1Pk∣∣2−∣∣PkPk−1∣∣2)} 为了避免调整位置前后轨迹变化太大应该限制每个点可以偏移原始点的位置 同时最小化偏移距离 m i n ∑ ∣ ∣ P k P k ′ ∣ ∣ 2 min\sum ||P_{k}P_{k}{}||_{2} min∑∣∣PkPk′∣∣2
b. 把这个问题用数学表达式写出来考虑上面提到的性质把不满足上述性质的程度记作J根据上面的描述J应该包含下面几项注意式中都对距离取了平方取平方可以提升计算效率 1. 平滑代价 ∑ ∣ ∣ 2 P k − P k − 1 − P k 1 ∣ ∣ 2 2 \sum ||2P_{k} - P_{k - 1} - P_{k 1}||_{2}^{2} ∑∣∣2Pk−Pk−1−Pk1∣∣22 2. 偏移代价 ∑ ∣ ∣ P k P k ′ ∣ ∣ 2 2 \sum ||P_{k}P_{k}{}||_{2}^{2} ∑∣∣PkPk′∣∣22 3. 距离代价 ∑ ∣ ∣ P k P k − 1 ∣ ∣ 2 2 \sum ||P_{k}P_{k - 1}||_{2}^{2} ∑∣∣PkPk−1∣∣22此部分代价同时可以反应均匀性 c. 每个点还应该满足位置限制条件也就是将每个点限制在框中 1. x m i n x k − x k ′ x m a x x_{min} x_{k} - x_{k}^{} x_{max} xminxk−xk′xmax 2. y m i n y k − y k ′ y m a x y_{min} y_{k} - y_{k}^{} y_{max} yminyk−yk′ymax d. 于是我们想让参考点变得符合我们对中心线预期的问题就变成了下面这样一个数学问题在满足限制条件的情况下使得J的值最小其中w表示各个项目的重要程度 1. m i n { J w 1 ∑ ∣ ∣ 2 P k − P k − 1 − P k 1 ∣ ∣ 2 2 w 2 ∑ ∣ ∣ P k P k ′ ∣ ∣ 2 2 w 3 ∑ ∣ ∣ P k P k − 1 ∣ ∣ 2 2 } min\left \{ J w_{1}\sum ||2P_{k} - P_{k - 1} - P_{k 1}||_{2}^{2} w_{2}\sum ||P_{k}P_{k}{}||_{2}^{2} w_{3}\sum ||P_{k}P_{k - 1}||_{2}^{2} \right \} min{Jw1∑∣∣2Pk−Pk−1−Pk1∣∣22w2∑∣∣PkPk′∣∣22w3∑∣∣PkPk−1∣∣22} 2. s.t. x m i n x k − x k ′ x m a x x_{min} x_{k} - x_{k}^{} x_{max} xminxk−xk′xmax、 y m i n y k − y k ′ y m a x y_{min} y_{k} - y_{k}^{} y_{max} yminyk−yk′ymax e. 问题求解这其实是一个标准的二次规划问题调用OSQP这个运算库就可以求解出来结果 1. 二次规划问题目标函数是凸二次函数最高次数为2且为凸函数约束条件是线性函数 2. 二次规划问题的标准形式 m i n 1 2 x T H x q T x s . t . a T x b h T x t \begin{array}{l} min\ \frac{1}{2} x^{T}Hx q^{T}x \\ s.t.\ \ \ \ a^{T}x b \\ \ h^{T}x t \end{array} min 21xTHxqTxs.t. aTxb hTxt
上方是问题的形式下方的问题的约束
6.Frnet 坐标转笛卡尔坐标
龙格现象 虽然高次多项式会拟合出一条更精确的曲线但是当次数变高是会出现震荡的现象所以我们应该使用低次多项的方式拟合一条曲线 微分基本公式及法则
