什么网站专门做境外当地游,小广告多的网站,wordpress自动适应插件,有没有专门做二手电脑的网站将数字一个个地排成一列#xff0c;就是数列。举个例子#xff0c;调查班上同学家庭年收入#xff0c;得到 155, 99, 238, 133, 175,…#xff08;单位#xff1a;千元#xff09;这样就是一个数列#xff0c;顾名思义#xff0c;只不过把数字排成一列。
有时候#…将数字一个个地排成一列就是数列。举个例子调查班上同学家庭年收入得到 155, 99, 238, 133, 175,…单位千元这样就是一个数列顾名思义只不过把数字排成一列。
有时候数列中的每一个数可能会依循某种规律。譬如说等差数列 4 , 7 , 10 , 13 , . . . , 91 (1) 4, 7, 10, 13,..., 91 \tag{1} 4,7,10,13,...,91(1) 其规律就是第一项为 4后面每到下一项就增加 3一直列到 91。像这种情况通常我们简单列几个项别人就知道我们想表达的数列。但这件事如果要严格说起来真是这样吗譬如说我列出数列前四项为 1, 4, 9, 16你知道我的第五项是什么吗你心想「嘿嘿这岂不简单不就是 25吗」此时我狡猾地回答「哈哈我的第五项是π啦因为我的一般式是 n 2 ( n − 1 ) ( n − 2 ) ( n − 3 ) ( n − 4 ) ( π − n 2 ) 24 n²\frac{(n−1)(n−2)(n−3)(n−4)(π−n²) }{24} n224(n−1)(n−2)(n−3)(n−4)(π−n2) 呀」。
其实只列前几项严格说起来的话是很糟糕的方式。但是不少的考题就这么出了。
还是在写下数列时就写清楚到底规律是什么比较好。
其中一种标示规律的方法就是给出一般式。举例来说 ⟨ a n ⟩ 3 n 1 , 1 ≤ n ≤ 30 (2) ⟨a_n⟩ 3n 1, 1 ≤ n ≤ 30 \tag{2} ⟨an⟩3n1,1≤n≤30(2) 就很清楚地告诉人家第一项 a 1 a_1 a1 就代 n 1 n 1 n1 得到 4 a 2 a_2 a2 代 n 2 n 2 n2 得到 7。总共有 30项 a 30 91 a_{30} 91 a3091。其实这个就是我上面列的那个等差数列 (1)要认出并不困难从 3 n 3n 3n 可看出当 n n n 每增加 1一般项 a n a_n an 就增加 3所以是等差数列其公差为 3。又代 n 1 n 1 n1得知首项为 4。
如果要列出等比数列可能长得像这样 a n 5 ⋅ 3 n , 1 ≤ n ≤ 20 (3) a_n 5 · 3^n, 1 ≤ n ≤ 20 \tag{3} an5⋅3n,1≤n≤20(3)
可以看出当 n n n 每增加 1一般项 a n a_n an 就变为 3 倍所以是等比数列公比为 3。又代 n 1得知首项为 15。
另一种标示规律的方法是使用递推式。举个例子像是 { a 1 4 a n a n − 1 3 , 2 ≤ n ≤ 30 (4) \begin{cases} a_1 4\\a_n a_{n−1} 3 , ~2 ≤ n ≤ 30 \end{cases}\tag{4} {a14anan−13, 2≤n≤30(4)
递推是指为了写出这个数列的某一项需使用这个数列本身的前一项来计算其值。以此例来说在第二项以后每一项都是将前一项再加上 3 而得到。当然也要注意必须讲清楚第一项 a 1 a_1 a1才有办法套用递推关系得到 a 2 、 a 3 、 ⋅ ⋅ ⋅ a_2、a_3、· · · a2、a3、⋅⋅⋅否则光是知道这个前后项关系也无用。
如果一个数列是用递推式定的有时候可以找出它的一般式。像是我所给的递推式有看出来吗又是那个等差数列(1)了但有时候也不好找例如斐波那契数列 a 1 1 , a 2 2 , a n 2 a n 1 a n , n ∈ N (5) a_1 1, a_2 2, a_{n2} a_{n1} a_n, n\in N \tag{5} a11,a22,an2an1an,n∈N(5)
你能找出一般式吗是找得出啦一般式为 a n 5 5 [ ( 1 5 2 ) n − ( 1 − 5 2 ) n ] (6) a_n \frac{\sqrt{5}}{5}\left[\left(\frac{1\sqrt{5}}{2}\right)^n-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n\right] \tag{6} an55 [(215 )n−(21−5 )n](6)
注此通项的计算方法以及关于斐波那契数列更多的内容请拙作参阅
计算机考研之数据结构斐波那契数列专题(1)计算机考研之数据结构斐波那契数列专题(2)
数列的项数不一定是有限项也可能是无限多项停不下来。这种数列称为无穷数列。例如将等差数列由 30 项扩展为无穷数列便成为 ⟨ a n ⟩ 3 n 1 , n ∈ N (7) ⟨a_n⟩ 3n 1, n \in N \tag{7} ⟨an⟩3n1,n∈N(7)
明显地这个数列会越来越大无止尽地大下去。
数列的取值并不一定都无止尽地变大。也可能无穷数列的趋势是越来越接近一个定值。这件事情我们可以用极限式来表示。 定义 1.1数列的极限 若 n 越来越大以至于无穷大时 a n a_n an 便跟着越来越靠近 L L L。那么我们就说当 x → ∞ x\to\infty x→∞ 时$a_n\to L%。若以极限式的写法就是 lim x → ∞ a n L \lim_{x\to\infty}a_n L x→∞limanL 举例来说在《庄子·天下》里有一句话“一尺之棰日取其半万世不竭。”所以我们便有庄子数列 ⟨ a n ⟩ 1 2 n ⟨a_n⟩ \frac{1}{2^n} ⟨an⟩2n1 这是一个公比为 1 2 \frac{1}{2} 21 的无穷等比数列。明显地随着 n n n 越来越大庄子数列的一般项 a n a_n an 应该会越来越小、越来越接近 0。所以庄子数列的极限就是 0。在符号上我们记为 lim n → ∞ a n 0 (9) \lim_{n\to\infty} a_n 0\tag{9} n→∞liman0(9)
用以表达当 n n n 越来越大的时候数列的一般项 a n a_n an会趋近到 0。
必须强调一点极限值与数列取值是不一样的概念。我们说 a n a_n an 趋近到 0并不是在说它会变成 0。可能会也可能不会总之与极限值是不同概念。以庄子数列来说我们注意那句“万世不竭”。虽说古人没有分子的概念以致这句话若是以物理的观点来说其实是错的你无法真的将物体一直切一半切不停。但其传达的意思就是说虽然是会一直变小下去小到越来越接近 0但其实它并没有真正变成 0的一天。若从数学式上看无论你对于 n n n 代入多少 1 2 n \frac{1}{2^n} 2n1 都不会是 0。
当数列的趋势是越来越趋近到一个定值时我们说它极限存在这个数列是收敛的。如果数列并没有趋近到一个定值我们就说它极限不存在这个数列是发散的。所谓发散就是不收敛。发散有两种情况一种情况例如 ⟨ a n ⟩ ( − 1 ) n ⟨a_n⟩(-1)^n ⟨an⟩(−1)n其数列取值一直在 1, −1 跳来跳去并不趋近一个定值。另一种情况即趋近到无穷大。此时虽然算是极限不存在但这种情况我们依然可用极限式来表示。 定义 1.2 数列的极限 若 n n n 越来越大以至于无穷大时 a n a_n an 便跟着也越来越大以至于无穷大。 那么我们就说当 n → ∞ n\to\infty n→∞ 时 a n → ∞ a_n\to\infty an→∞。若以极限式的写法就是 lim n → ∞ a n ∞ \lim_{n→∞}a_n ∞ n→∞liman∞ 性质 1.1: 收敛极限式的基本性质
如果 lim n → ∞ a n α \lim_{n \to \infty} a_n \alpha limn→∞anα、 lim n → ∞ b n β \lim_{n \to \infty} b_n \beta limn→∞bnβ 及 c ∈ R c \in \mathbb{R} c∈R那么
加法 lim n → ∞ ( a n ± b n ) α ± β \lim_{n \to \infty} (a_n \pm b_n) \alpha \pm \beta limn→∞(an±bn)α±β常数倍 lim n → ∞ c ⋅ a n c ⋅ lim n → ∞ a n c ⋅ α \lim_{n \to \infty} c \cdot a_n c \cdot \lim_{n \to \infty} a_n c \cdot \alpha limn→∞c⋅anc⋅limn→∞anc⋅α乘法 lim n → ∞ ( a n ⋅ b n ) α ⋅ β \lim_{n \to \infty} (a_n \cdot b_n) \alpha \cdot \beta limn→∞(an⋅bn)α⋅β除法 lim n → ∞ a n b n α β \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} \frac{\alpha}{\beta} limn→∞bnanβα条件是 β ≠ 0 \beta \neq 0 β0
