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机器学习通常需要处理大型数据集。线性代数和矩阵是计算大量数据的有力工具#xff0c;需要一些矩阵运算相关的线性代数知识。
深度学习是关于…所有机器学习方法都涉及从数据中提取信息因此需要一些关于数据的实用技能包括存储、操作和预处理数据。
机器学习通常需要处理大型数据集。线性代数和矩阵是计算大量数据的有力工具需要一些矩阵运算相关的线性代数知识。
深度学习是关于优化的学习。 对于一个带有参数的模型我们想要找到其中能拟合数据的最好模型。 在算法的每个步骤中决定以何种方式调整参数需要一点微积分知识。autograd包会自动计算微分
机器学习还涉及如何做出预测给定观察到的信息某些未知属性可能的值是多少 因此需要一些统计与概率论相关的知识。
1 数据操作
为了能够完成各种数据操作我们需要某种方法来存储和操作数据。 通常我们需要做两件重要的事
获取数据将数据读入计算机后对其进行处理
深度学习框架中的张量类在MXNet中为ndarray 在PyTorch和TensorFlow中为Tensor都与Numpy的ndarray类似。 但深度学习框架又比Numpy的ndarray多一些重要功能
首先GPU很好地支持加速计算而NumPy仅支持CPU计算其次张量类支持自动微分
1.1 初步使用
导入 torch
import torch张量表示一个由数值组成的数组这个数组可能有多个维度。 具有一个轴的张量对应数学上的向量vector 具有两个轴的张量对应数学上的矩阵matrix 具有两个轴以上的张量没有特殊的数学名称。
使用 arange 创建一个行向量 x。这个行向量包含以0开始的前12个整数它们默认创建为整数。也可指定创建类型为浮点数。张量中的每个值都称为张量的 元素element。除非额外指定新的张量将存储在内存中并采用基于CPU的计算。
x torch.arange(12)# tensor([ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11])可以通过张量的shape属性来访问张量沿每个轴的长度的形状 。
x.shape# torch.Size([12])如果只想知道张量中元素的总数即形状的所有元素乘积可以检查它的元素数量。
x.numel()# 12要想改变一个张量的形状而不改变元素数量和元素值可以调用reshape函数。虽然张量的形状发生了改变但其元素值并没有变。 注意通过改变张量的形状张量的大小不会改变。
X x.reshape(3, 4)# tensor([[ 0, 1, 2, 3],
# [ 4, 5, 6, 7],
# [ 8, 9, 10, 11]])不需要通过手动指定每个维度来改变形状。 也就是说如果我们的目标形状是高度,宽度 那么在知道宽度后高度会被自动计算得出不必我们自己做除法。在上面的例子中为了获得一个3行的矩阵我们手动指定了它有3行和4列。我们可以通过-1来调用此自动计算出维度的功能。 即我们可以用x.reshape(-1,4)或x.reshape(3,-1)来取代x.reshape(3,4)。
有时我们希望使用全0、全1、其他常量或者从特定分布中随机采样的数字来初始化矩阵。 我们可以创建一个形状为2,3,4的张量其中所有元素都设置为0。
torch.zeros((2, 3, 4))# tensor([[[0., 0., 0., 0.],
# [0., 0., 0., 0.],
# [0., 0., 0., 0.]],
# [[0., 0., 0., 0.],
# [0., 0., 0., 0.],
# [0., 0., 0., 0.]]])同样我们可以创建一个形状为(2,3,4)的张量其中所有元素都设置为1。
torch.ones((2, 3, 4))# tensor([[[1., 1., 1., 1.],
# [1., 1., 1., 1.],
# [1., 1., 1., 1.]],
# [[1., 1., 1., 1.],
# [1., 1., 1., 1.],
# [1., 1., 1., 1.]]])有时我们想通过从某个特定的概率分布中随机采样来得到张量中每个元素的值。 例如当我们构造数组来作为神经网络中的参数时我们通常会随机初始化参数的值。 以下代码创建一个形状为3,4的张量。 其中的每个元素都从均值为0、标准差为1的标准高斯分布正态分布中随机采样。
torch.randn(3, 4)# tensor([[-0.0135, 0.0665, 0.0912, 0.3212],
# [ 1.4653, 0.1843, -1.6995, -0.3036],
# [ 1.7646, 1.0450, 0.2457, -0.7732]])还可以通过提供包含数值的Python列表或嵌套列表来为所需张量中的每个元素赋予确定值。 在这里最外层的列表对应于轴0内层的列表对应于轴1。
torch.tensor([[2, 1, 4, 3], [1, 2, 3, 4], [4, 3, 2, 1]])# tensor([[2, 1, 4, 3],
# [1, 2, 3, 4],
# [4, 3, 2, 1]])1.2 运算符
在 tensor 上最简单的数学运算中最简单的且最有用的操作是按元素elementwise运算。它们将标准标量运算符应用于数组的每个元素。 对于将两个数组作为输入的函数按元素运算将二元运算符应用于两个数组中的每对位置对应的元素。 我们可以基于任何从标量到标量的函数来创建按元素函数。
在数学表示法中我们将通过符号 f : R → R f: \Bbb{R} \rightarrow \Bbb{R} f:R→R 来表示一元标量运算符只接收一个输入。这意味着该函数从任何实数 R \Bbb{R} R 映射到另一个实数。
同样我们通过符号 f : R , R → R f: \Bbb{R}, \Bbb{R} \rightarrow \Bbb{R} f:R,R→R 表示二元标量运算符这意味着该函数接收两个输入并产生一个输出。给定同一形状的任意两个向量 μ \mu μ 和 ν \nu ν 和二元运算符 f f f 可以得到向量 c F ( μ , ν ) c F(\mu, \nu) cF(μ,ν)。具体计算方法是 c i ← f ( μ i , ν i ) c_i \leftarrow f(\mu _i, \nu _i) ci←f(μi,νi)其中 c i , μ i , ν i c_i, \mu _i, \nu _i ci,μi,νi 分别是向量 c , μ , ν c, \mu, \nu c,μ,ν 中的元素。在这里我们通过将标量函数升级为按元素向量运算来生成向量值 F : R d , R d → R d F: \Bbb{R} ^d, \Bbb{R} ^d \rightarrow \Bbb{R} ^d F:Rd,Rd→Rd。
对于任意具有相同形状的张量 常见的标准算术运算符、-、*、/和**都可以被升级为按元素运算。 我们可以在同一形状的任意两个张量上调用按元素操作。
“按元素”方式可以应用更多的计算包括像求幂这样的一元运算符。
x torch.tensor([1.0, 2, 4, 8])
torch.exp(x)# tensor([2.7183e00, 7.3891e00, 5.4598e01, 2.9810e03])除了按元素计算外还可以执行线性代数运算包括向量点积和矩阵乘法。
也可以把多个张量连结concatenate在一起 把它们端对端地叠起来形成一个更大的张量。 只需要提供张量列表并给出沿哪个轴连结。 当我们沿行轴-0形状的第一个元素 和按列轴-1形状的第二个元素分别连结两个矩阵第一个输出张量的轴-0长度6是两个输入张量轴-0长度的总和33 第二个输出张量的轴-1长度8是两个输入张量轴-1长度的总和44
X torch.arange(12, dtypetorch.float32).reshape((3,4))
Y torch.tensor([[2.0, 1, 4, 3], [1, 2, 3, 4], [4, 3, 2, 1]])
torch.cat((X, Y), dim0), torch.cat((X, Y), dim1)# (tensor([[ 0., 1., 2., 3.],
# [ 4., 5., 6., 7.],
# [ 8., 9., 10., 11.],
# [ 2., 1., 4., 3.],
# [ 1., 2., 3., 4.],
# [ 4., 3., 2., 1.]]),
# tensor([[ 0., 1., 2., 3., 2., 1., 4., 3.],
# [ 4., 5., 6., 7., 1., 2., 3., 4.],
# [ 8., 9., 10., 11., 4., 3., 2., 1.]]))通过逻辑运算符构建二元张量。 以X Y为例 对于每个位置如果X和Y在该位置相等则新张量中相应项的值为1。 这意味着逻辑语句X Y在该位置处为真否则该位置为0。
X Y# tensor([[False, True, False, True],
# [False, False, False, False],
# [False, False, False, False]])对张量中的所有元素进行求和会产生一个单元素张量。
X.sum()# tensor(66.)1.3 广播机制
在某些情况下即使形状不同我们仍然可以通过调用 广播机制broadcasting mechanism来执行按元素操作。 这种机制的工作方式如下
通过适当复制元素来扩展一个或两个数组以便在转换之后两个张量具有相同的形状对生成的数组执行按元素操作
在大多数情况下我们将沿着数组中长度为1的轴进行广播
a torch.arange(3).reshape((3, 1))
b torch.arange(2).reshape((1, 2))由于a和b分别是 3x1 和 1x2 的矩阵如果让它们相加它们的形状不匹配。 我们将两个矩阵广播为一个更大的 3x2 矩阵矩阵a将复制列 矩阵b将复制行然后再按元素相加
a b# tensor([[0, 1],
# [1, 2],
# [2, 3]])1.4 索引和切片
张量中的元素可以通过索引访问。第一个元素的索引是0最后一个元素索引是-1 可以指定范围以包含第一个元素和最后一个之前的元素。
可以用[-1]选择最后一个元素可以用[1:3]选择第二个和第三个元素
X[-1], X[1:3]# (tensor([ 8., 9., 10., 11.]),
# tensor([[ 4., 5., 6., 7.],
# [ 8., 9., 10., 11.]]))除读取外我们还可以通过指定索引来将元素写入矩阵。
X[1, 2] 9# tensor([[ 0., 1., 2., 3.],
# [ 4., 5., 9., 7.],
# [ 8., 9., 10., 11.]])如果我们想为多个元素赋值相同的值我们只需要索引所有元素然后为它们赋值。 例如[0:2, :]访问第1行和第2行其中“:”代表沿轴1列的所有元素。 虽然我们讨论的是矩阵的索引但这也适用于向量和超过2个维度的张量。
X[0:2, :] 12# tensor([[12., 12., 12., 12.],
# [12., 12., 12., 12.],
# [ 8., 9., 10., 11.]])1.5 节省内存
运行一些操作可能会导致为新结果分配内存。例如如果我们用Y X Y我们将取消引用Y指向的张量而是指向新分配的内存处的张量。
Python的id()函数提供内存中引用对象的确切地址。运行Y Y X后我们会发现id(Y)指向另一个位置。 这是因为Python首先计算Y X为结果分配新的内存然后使Y指向内存中的这个新位置。
before id(Y)
Y Y X
id(Y) before# False注意
首先我们不想总是不必要地分配内存。在机器学习中我们可能有数百兆的参数并且在一秒内多次更新所有参数。通常情况下我们希望原地执行这些更新。如果我们不原地更新其他引用仍然会指向旧的内存位置这样我们的某些代码可能会无意中引用旧的参数。
可以使用切片表示法将操作的结果分配给先前分配的数组例如Y[:] 。 创建一个新的矩阵Z其形状与另一个Y相同 使用zeros_like来分配一个全 0 的块。
Z torch.zeros_like(Y)
print(id(Z):, id(Z))
Z[:] X Y
print(id(Z):, id(Z))# id(Z): 140327634811696
# id(Z): 140327634811696如果在后续计算中没有重复使用X 我们也可以使用X[:] X Y或X Y来减少操作的内存开销。
before id(X)
X Y
id(X) before# True1.6 转换为其他Python对象
将深度学习框架定义的张量转换为NumPy张量ndarray。 torch张量和numpy数组将共享它们的底层内存就地操作更改一个张量也会同时更改另一个张量。
A X.numpy()
B torch.tensor(A)
type(A), type(B)# (numpy.ndarray, torch.Tensor)要将大小为1的张量转换为Python标量可以调用item函数或Python的内置函数。
a torch.tensor([3.5])
a, a.item(), float(a), int(a)# (tensor([3.5000]), 3.5, 3.5, 3)
