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导数概念常见导数和激活导数python代码绘制激活函数微分概念和法则、积分概念微积分切线切面代码生成案例链式求导法则反向传播算法(重要)
一、概念 二、常见导数及激活导数 常见激活函数及其导数公式#xff1a; 在神经网络中#xff0c;激活函数用于引入非线性因素 在神经网络中激活函数用于引入非线性因素使得神经网络能够拟合更加复杂的数据分布。没有激活函数的神经网络本质上只是一个线性模型而添加了非线性激活函数后神经网络可以表示非线性的决策边界。使得网络能够解决复杂的非线性问题。
三、python绘制以上激活函数
sigmoid函数: Sigmoid函数将输入值映射到(0, 1)之间常用于二分类问题的输出层。然而它容易出现梯度消失问题特别是在输入值接近0或1时梯度接近于0导致网络训练缓慢。
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plot
#sigmoid公式
def sigmoid(x):return 1/(1np.exp(-x))
#绘制图形方法 func数学公式可变参数x图形标题title
def plot_activation_function(func,x,title):y func(x)plot.plot(x,y) #传入x 和yplot.title(title) #设置标题plot.xlabel(x) #x轴plot.ylabel(y) #y轴plot.grid() #网格线plot.show()
x_value np.arange(-10,10,0.1) #x取值范围-10 - 10 步长0.1
plot_activation_function(sigmoid,x_value,sigmoid)运行如下 tanh函数 Tanh函数将输入值映射到(-1, 1)之间输出均值为0有助于中心化数据。与Sigmoid函数类似它也容易出现梯度消失问题但程度相对较轻。
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plot
#tanh公式 双曲正切函数Tanh函数
def tanh(x):return np.tanh(x)
#绘制图形方法 func数学公式可变参数x图形标题title
def plot_activation_function(func,x,title):y func(x)plot.plot(x,y) #传入x 和yplot.title(title) #设置标题plot.xlabel(x) #x轴plot.ylabel(y) #y轴plot.grid() #网格线plot.show()
x_value np.arange(-10,10,0.1) #x取值范围-10 - 10 步长0.1
plot_activation_function(tanh,x_value,tanh)结果如下 ReLU函数 ReLU函数简单高效能够解决梯度消失问题在正数区域。然而它存在神经元“死亡”问题即当输入小于0时梯度为0导致神经元无法更新。
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plot
#ReLU函数Rectified Linear Unit
def relu(x):return np.maximum(0, x)
#绘制图形方法 func数学公式可变参数x图形标题title
def plot_activation_function(func,x,title):y func(x)plot.plot(x,y) #传入x 和yplot.title(title) #设置标题plot.xlabel(x) #x轴plot.ylabel(y) #y轴plot.grid() #网格线plot.show()
x_value np.arange(-10,10,0.1) #x取值范围-10 - 10 步长0.1
plot_activation_function(relu,x_value,ReLU)执行如下: Leaky ReLU函数: Leaky ReLU函数通过引入一个小的斜率α解决了ReLU函数中的“死亡”问题。它保留了ReLU函数的优点同时避免了神经元无法更新的问题。 alpha0.01是可变的值可以根据实际情况定义
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plot
# Leaky ReLU函数
def leaky_relu(x,alpha0.01):return np.where(x 0, x, x*alpha) #x 0时返回x,否则 x*0.01
#绘制图形方法 func数学公式可变参数x图形标题title
def plot_activation_function(func,x,title):y func(x)plot.plot(x,y) #传入x 和yplot.title(title) #设置标题plot.xlabel(x) #x轴plot.ylabel(y) #y轴plot.grid() #网格线plot.show()
x_value np.arange(-10,10,0.1) #x取值范围-10 - 10 步长0.1
plot_activation_function(leaky_relu,x_value,leaky_relu)返回结果 #ELU函数Exponential Linear Unit: ELU函数融合了ReLU和Leaky ReLU的优点具有负数饱和区域对噪声有一定的鲁棒性。然而其计算量相对较大因为包含指数运算。
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plot
#ELU函数Exponential Linear Unit
def elu(x,alpha1):return np.where(x 0, x, alpha*(np.exp(x) - 1))
#绘制图形方法 func数学公式可变参数x图形标题title
def plot_activation_function(func,x,title):y func(x)plot.plot(x,y) #传入x 和yplot.title(title) #设置标题plot.xlabel(x) #x轴plot.ylabel(y) #y轴plot.grid() #网格线plot.show()
x_value np.arange(-10,10,0.1) #x取值范围-10 - 10 步长0.1
plot_activation_function(elu,x_value,elu)结果如下
四微分、积分
1. 微分的定义
微分是求函数在某一点的变化率。
2. 微分的三个法则
在微积分中微分导数的加法法则、乘法法则和除法法则也称为商的导数法则是求解复合函数导数的基本工具。这些法则允许我们将复杂的函数分解为更简单的部分并分别求导然后再以特定的方式组合起来。
3. 积分 定积分的值就是这个封闭图形的面积。 五、微积分切线切面代码生成案例
1. 用Python展示二维图像的切线
用代码绘制x^2的函数图像并绘制函数在x1处的切线
Python代码如下
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt#定义一个函数f(x) 求x平方的函数
def f(x):return x ** 2
#定义函数的导数
def df(x):return 2 * x
#绘制原始函数 定义x的取值范围中间均匀拆分出100个点
x np.linspace(-3,3,100)
y f(x) #y是要求导的这条曲线
#设置画面大小 8 * 6 的尺寸比例
plt.figure(figsize(8,6))
#绘制图像添加标注
plt.plot(x,y,labelf(x) x^2)
#计算x 1时的导数和切线
x1 1
y1 f(x1)
scope df(x1) #导数
#切线方程 y m(x-x1) y1
def tangent_line(x,x1,y1,scope):return scope * (x - x1) y1
#在切点附近绘制切线
x_tangent np.linspace(x1 -1,x1 1,10) #限定切线x轴的范围
y_tangent tangent_line(x_tangent,x1,y1,scope) #切线y轴的范围
#绘制切线图像添加标题
plt.plot(x_tangent,y_tangent,labeltangent at x 1,colorred)
plt.scatter([x1],[y1],colorblack) #定义标注切点颜色
#设置图像
plt.legend() #展示图线的label
plt.xlabel(x) #定义x轴名称
plt.ylabel(f(x)) #y轴名称
plt.title(Function and Tangent Line at a Point) #图片标题
plt.grid(True) #显示网格
plt.show()
2. 展示三维函数切面
用代码绘制以下三维图像并绘制出三维图像的切面 Python代码如下
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np#创建x,y数据点
# -5 - 5,中间拆分成100段
x np.linspace(-5,5,100)
y np.linspace(-5,5,100)
#把x,y放入meshgrid,生成网格坐标矩阵
x,y np.meshgrid(x,y)
#定义三维函数
def f(x,y):return x ** 2 y ** 2
#计算z的值 z是三维图形的高度
z f(x,y)
#创建图形和轴
fig plt.figure() #创建一个图形
#111代表在图像的第一行第一列第一个位置添加一个图在这个图上画三维图像
ax fig.add_subplot(111,projection3d)
#绘制表面 plot_surface用来绘制三维图 颜色使用viridis alpha代表画面的透明度
surf ax.plot_surface(x,y,z,cmapviridis,alpha0.5)
#定义要突出显示的点 曲面和切面相交的点的x轴和y轴的值
point_x,point_y 1.0,1.0
point_z f(point_x,point_y) #z轴的值
#绘制出该相交的点位s50代表点大小为50
ax.scatter(point_x,point_y,point_z,colorred,s50)
#为了方便画出切面需先算出切面的法线
normal np.array([2*point_x,2*point_y,-1])
#定义平面上的所有点x_plane,y_plane,z_plane
x_plane np.linspace(-5,5,10)
y_plane np.linspace(-5,5,10)
#把x_plane y_plane转化为网格点坐标
x_plane,y_plane np.meshgrid(x_plane,y_plane)
#normal[0]代表x轴的变量 normal[1] y轴变量 normal[2] z轴变量
z_plane (-normal[0] * (x_plane-point_x) - normal[1] * (y_plane-point_y) /normal[2] point_z)
#绘制切平面
ax.plot_surface(x_plane,y_plane,z_plane,coloryellow,alpha0.5)
#设置标题和坐标轴
ax.set_xlabel(x asis)
ax.set_ylabel(y asis)
ax.set_zlabel(z asis)
ax.set_title(3D Surface Plot with Tangent Plane)
plt.show()六、链式求导法则 七、反向传播算法
简介
反向传播算法Backpropagation Algorithm简称BP算法是一种用于训练人工神经网络Artificial Neural Network, ANN的常用且有效的算法。它建立在梯度下降法的基础上通过计算网络预测与实际结果之间的误差并将这个误差反向传播到网络中的每一层从而调整网络中每个权重的值以逐步优化网络的学习过程。
反向传播算法的基本原理
反向传播算法的基本原理是利用链式法则Chain Rule进行求导。在神经网络中数据通过前向传播得到预测输出然后计算预测输出与真实标签之间的损失或误差。接着通过反向传播算法将损失从输出层向输入层逐层反向传播计算每一层权重和偏置的梯度。最后利用这些梯度来更新网络的参数以减小损失。
反向传播算法步骤概述
前向传播 首先给定一个输入样本按照当前网络的权重和偏置通过每一层传递这个输入直到最后一层得到网络的预测输出。 计算损失 使用损失函数如均方误差或交叉熵计算网络预测输出与实际目标输出之间的差异。 梯度计算 通过链式法则计算损失函数相对于每个权重的梯度。这个过程从输出层开始向后传播到输入层。在每一步中都会计算当前层的误差项也称为局部梯度然后根据当前层的权重将误差分配给前一层。 权重更新 一旦得到了每个权重的梯度就可以使用某种形式的梯度下降法例如批量梯度下降、随机梯度下降或小批量梯度下降来调整权重使损失函数减少。
反向传播算法的关键要素
学习率Learning Rate 决定了参数更新的步长过大的学习率可能导致震荡过小的学习率可能导致收敛速度过慢。 激活函数Activation Function 影响神经元的输出常见的激活函数包括sigmoid、ReLU等。 损失函数Loss Function 衡量网络预测输出与真实标签之间的差距常见的损失函数包括均方误差MSE和交叉熵损失函数。 梯度下降Gradient Descent 利用梯度信息来更新网络参数的优化算法
这里我画了一个三层的神经元x1,x2代表输入y代表输出z1,z2,z3代表中间变量 计算过程 梯度更新计算 重新进行前向传播:
使用Python代码实现上述神经网络的反向传播 #模型参数初始化
def param_init():# 定义权重w_1_11 0.5w_1_12 0.5w_1_13 0.5w_1_21 0.5w_1_22 0.5w_1_23 0.5w_2_11 1.0w_2_21 1.0w_2_31 1.0layer_1_list [w_1_11, w_1_12, w_1_13, w_1_21, w_1_22, w_1_23]layer_2_list [w_2_11,w_2_21,w_2_31]return layer_1_list, layer_2_list#前向传播的函数 输出预测输出
def forword_porpagation(layer_1_list, layer_2_list):w_1_11, w_1_12, w_1_13, w_1_21, w_1_22, w_1_23 layer_1_listw_2_11, w_2_21, w_2_31 layer_2_list# 前向传播z_1 x_1 * w_1_11 x_2 * w_1_21z_2 x_1 * w_1_12 x_2 * w_1_22z_3 x_1 * w_1_13 x_2 * w_1_23y_pred z_1 * w_2_11 z_2 * w_2_21 z_3 * w_2_31return y_pred#计算损失值 网络的输出和真实值相多少
def compute_loss(y_true, y_pred):loss 0.5 * (y_true - y_pred) ** 2return loss#反向传播
def backword_propagation(layer_1_list, layer_2_list,learning_rate):w_1_11, w_1_12, w_1_13, w_1_21, w_1_22, w_1_23 layer_1_listw_2_11, w_2_21, w_2_31 layer_2_listz_1 x_1 * w_1_11 x_2 * w_1_21z_2 x_1 * w_1_12 x_2 * w_1_22z_3 x_1 * w_1_13 x_2 * w_1_23# 计算输出层关于损失函数的梯度d_loss_predictied_output -(expected_out - y_pred)# 计算权重关于损失函数的梯度d_loss_w_2_11 d_loss_predictied_output * z_1d_loss_w_2_21 d_loss_predictied_output * z_2d_loss_w_2_31 d_loss_predictied_output * z_3d_loss_w_1_11 d_loss_predictied_output * w_2_11 * x_1d_loss_w_1_21 d_loss_predictied_output * w_2_11 * x_2d_loss_w_1_12 d_loss_predictied_output * w_2_21 * x_1d_loss_w_1_22 d_loss_predictied_output * w_2_21 * x_2d_loss_w_1_13 d_loss_predictied_output * w_2_31 * x_1d_loss_w_1_23 d_loss_predictied_output * w_2_31 * x_2# 使用梯度下降法更新权重learning_rate 1e-5w_2_11 - learning_rate * d_loss_w_2_11w_2_21 - learning_rate * d_loss_w_2_21w_2_31 - learning_rate * d_loss_w_2_31w_1_11 - learning_rate * d_loss_w_1_11w_1_12 - learning_rate * d_loss_w_1_12w_1_13 - learning_rate * d_loss_w_1_13w_1_21 - learning_rate * d_loss_w_1_21w_1_22 - learning_rate * d_loss_w_1_22w_1_23 - learning_rate * d_loss_w_1_23layer_1_list [w_1_11, w_1_12, w_1_13, w_1_21, w_1_22, w_1_23]layer_2_list [w_2_11,w_2_21,w_2_31]return layer_1_list, layer_2_listif __name__ __main__:# 定义输入值和期望输出x_1 40.0x_2 80.0expected_out 60.0 # 期望输出值learning_rate 1e-5epoch 100#初始化定义权重layer_1_list, layer_2_list param_init()for i in range(epoch):y_pred forword_porpagation(layer_1_list, layer_2_list)print(f前向传播预测值为{y_pred})loss compute_loss(expected_out, y_pred)print(f当前的Loss值为{loss})layer_1_list, layer_2_list backword_propagation(layer_1_list, layer_2_list, learning_rate)结果如下图所示 一直到
可以看到经过100次循环损失值越来越小 网络的输出和真实值相差无限接近达到了最终的目的。
