眉山网站建设公司,wordpress 成功案例,成都百度网站排名优化,中国建设银行网上登录入口超螺旋滑模控制(Super Twisting Algorithm, STA)
超螺旋滑模控制又称超扭滑模控制#xff0c;可以说是二阶系统中最好用的滑模控制方法。
系统模型
对于二阶系统可以建立具有标准柯西形式的微分方程组 {x˙1x2x˙2fg⋅u\begin{cases} \dot x_1 x_2 \\ \dot x_2 f g \cdo…超螺旋滑模控制(Super Twisting Algorithm, STA)
超螺旋滑模控制又称超扭滑模控制可以说是二阶系统中最好用的滑模控制方法。
系统模型
对于二阶系统可以建立具有标准柯西形式的微分方程组 {x˙1x2x˙2fg⋅u\begin{cases} \dot x_1 x_2 \\ \dot x_2 f g \cdot u \end{cases} {x˙1x2x˙2fg⋅u 与传统滑模相比超螺旋滑模使用积分来获取实际控制量不含高频切换量所以系统中没有抖振。
令滑模面为s只要满足以下的方程即为稳定 {s˙−λ∣s∣12⋅sign(s)νν˙−α⋅sign(s)\begin{cases} \dot s -\lambda |s| ^ {\frac {1} {2}} \cdot sign(s) \nu \\ \dot \nu - \alpha \cdot sign(s) \\ \end{cases} {s˙−λ∣s∣21⋅sign(s)νν˙−α⋅sign(s)
控制器设计
设状态 x1x_1x1 的期望值为 xdx_dxd 则跟踪误差为 {e1x1−xde2e˙1x˙1−x˙dx2−x˙d\begin{cases} e_1 x_1 - x_d \\ e_2 \dot e_1 \dot x_1 - \dot x_d x_2 - \dot x_d \end{cases} {e1x1−xde2e˙1x˙1−x˙dx2−x˙d 设计滑模面为 sce1e2s ce_1 e_2 sce1e2 则滑模面的导数为 s˙ce˙1e˙2ce˙2fg⋅u−x¨d−λ∣s∣12⋅sign(s)ν−λ∣s∣12⋅sign(s)−α⋅sign(s)\begin{align} \dot s c \dot e_1 \dot e_2 \nonumber \\ c \dot e_2 f g \cdot u - \ddot x_d \nonumber\\ -\lambda |s| ^ {\frac {1} {2}} \cdot sign(s) \nu \nonumber\\ -\lambda |s| ^ {\frac {1} {2}} \cdot sign(s) - \alpha \cdot sign(s) \nonumber\\ \end{align} s˙ce˙1e˙2ce˙2fg⋅u−x¨d−λ∣s∣21⋅sign(s)ν−λ∣s∣21⋅sign(s)−α⋅sign(s) 可以得到控制量 ug−1(−fx¨d−c1e2−λ∣s∣12sign(s)−α⋅sign(s))u g ^ {-1} (-f \ddot x_d - c_1e_2 - \lambda |s| ^ {\frac {1} {2}}sign(s) - \alpha \cdot sign(s)) ug−1(−fx¨d−c1e2−λ∣s∣21sign(s)−α⋅sign(s)) 参数设定为 λ˙ω1γ12αλε12(β4ε2)\begin{align} \dot \lambda \omega _ 1 \sqrt{\frac {\gamma_1} {2}} \nonumber\\ \alpha \lambda \varepsilon \frac{1}{2}(\beta4\varepsilon ^ {2}) \nonumber \end{align} λ˙αω12γ1λε21(β4ε2) 式中α,β,ε,ω1,γ1\alpha , \beta , \varepsilon , \omega_1 , \gamma_1α,β,ε,ω1,γ1 均大于0。
稳定性证明
可以看出控制量中含有的不再是滑模面而是多项式 ∣s∣12|s| ^ {\frac {1} {2}}∣s∣21 。除此之外在 s˙\dot ss˙ 中还出现了另一个参数 ν\nuν ,不妨把这两者定义为新的状态变量在此基础上设成李雅普诺夫函数。 {z1∣s∣12z2ν⇒{z˙112∣s∣−12s˙12∣s∣−12(−λ∣s∣12⋅sign(s)−α⋅sign(s))z˙2ν˙−α⋅sign(s)\begin{cases} z_1 |s| ^ {\frac {1} {2}} \nonumber\\ z_2 \nu \\ \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \dot z_1 {\frac {1} {2}} |s| ^ {-\frac {1} {2}} \dot s {\frac {1} {2}} |s| ^ {-\frac {1} {2}}(-\lambda |s| ^ {\frac {1} {2}} \cdot sign(s) - \alpha \cdot sign(s)) \\ \dot z_2 \dot \nu -\alpha \cdot sign(s) \\ \end{cases} {z1∣s∣21z2ν⇒{z˙121∣s∣−21s˙21∣s∣−21(−λ∣s∣21⋅sign(s)−α⋅sign(s))z˙2ν˙−α⋅sign(s) 将第一项带入第二项 {z˙112∣z1∣(−λz1z2)z˙2ν˙−α⋅sign(s)−α⋅sign(s)∣s∣12∣s∣−12−αz1∣z1∣⇒{z˙112∣z1∣(−λz1z2)z˙2−αz1∣z1∣\begin{align} \begin{cases} \dot z_1 \frac {1} {2|z_1|}(-\lambda z_1 z_2) \\ \dot z_2 \dot \nu -\alpha \cdot sign(s) -\alpha \cdot sign(s) |s| ^ {\frac {1}{2}} |s| ^ {-\frac {1}{2}} -\alpha {\frac {z_1}{|z_1|}} \nonumber \end{cases} \\ \nonumber \Rightarrow \\ \nonumber \begin{cases} \dot z_1 \frac {1} {2|z_1|}(-\lambda z_1 z_2) \\ \dot z_2 -\alpha {\frac {z_1}{|z_1|}} \\ \end{cases} \\ \end{align} \nonumber {z˙12∣z1∣1(−λz1z2)z˙2ν˙−α⋅sign(s)−α⋅sign(s)∣s∣21∣s∣−21−α∣z1∣z1⇒{z˙12∣z1∣1(−λz1z2)z˙2−α∣z1∣z1 设置新的状态变量为 Z[z1z2]Z \begin{bmatrix} z_1 \\ z_2 \\ \end{bmatrix} Z[z1z2] 设置李雅普诺夫函数为 V0ZTPZ(β4ε2)z12z22−4εz1z2V_0 Z^TPZ (\beta4\varepsilon^2)z_1^2 z_2^2 - 4\varepsilon z_1 z_2 V0ZTPZ(β4ε2)z12z22−4εz1z2 其中PPP 为 P[β4ε2−2ε−2ε1]P\begin{bmatrix} \beta4\varepsilon^2 -2\varepsilon \\ -2\varepsilon 1 \\ \end{bmatrix} P[β4ε2−2ε−2ε1]
李雅普诺夫函数的导数
对李雅普诺夫函数进行求导 V˙02(β4ε2)z1z˙12z2z˙2−4εz˙1z2−4εz1z˙22(β4ε2)z1(12∣z1∣(−λz1z2))2z2(−αz1∣z1∣)−4ε(12∣z1∣(−λz1z2))z2−4εz1(−λz1z2)−1∣z1∣ZTQZ\begin{align} \dot V_0 2(\beta4\varepsilon^2)z_1 \dot z_1 2z_2 \dot z_2 - 4\varepsilon \dot z_1 z_2 - 4\varepsilon z_1 \dot z_2 \nonumber\\ 2(\beta4\varepsilon^2)z_1 (\frac {1} {2|z_1|}(-\lambda z_1 z_2)) 2z_2(-\alpha {\frac {z_1}{|z_1|}}) - 4\varepsilon (\frac {1} {2|z_1|}(-\lambda z_1 z_2)) z_2 - 4\varepsilon z_1 (-\lambda z_1 z_2) \nonumber\\ - \frac {1} {|z_1|} Z^T Q Z \nonumber \end{align} V˙02(β4ε2)z1z˙12z2z˙2−4εz˙1z2−4εz1z˙22(β4ε2)z1(2∣z1∣1(−λz1z2))2z2(−α∣z1∣z1)−4ε(2∣z1∣1(−λz1z2))z2−4εz1(−λz1z2)−∣z1∣1ZTQZ 其中 QQQ 为 Q[−4αελ(β4ε2)−12(β4ε2)α−λε−12(β4ε2)α−λε2ε][ABCD]Q \begin{bmatrix} -4\alpha \varepsilon \lambda(\beta4 \varepsilon^2) -\frac{1}{2}(\beta4\varepsilon^2) \alpha-\lambda \varepsilon \\ -\frac{1}{2} (\beta4\varepsilon^2) \alpha-\lambda \varepsilon 2\varepsilon \end{bmatrix} \begin{bmatrix} A B \\ C D \end{bmatrix} Q[−4αελ(β4ε2)−21(β4ε2)α−λε−21(β4ε2)α−λε2ε][ACBD] 这样我们得到李雅普诺夫函数 V˙0−1∣z1∣ZTQZ\dot V_0 - \frac {1} {|z_1|} Z^T Q Z V˙0−∣z1∣1ZTQZ 求 QQQ 的特征根 ∣pI−Q∣∣p−ABCp−D∣p2−(AD)pAD−BC0|pI -Q| \begin{vmatrix} p-A B \\ C p - D \end{vmatrix} p^2-(AD)p AD - BC 0 ∣pI−Q∣p−ACBp−Dp2−(AD)pAD−BC0 解方程组解得特征根为 {pmax(Q)AD(A−D)24BC2pmin(Q)AD−(A−D)24BC2\begin{cases} p_{max}(Q) \frac {AD \sqrt{(A-D)^24BC}} {2}\\ p_{min}(Q) \frac {AD - \sqrt{(A-D)^24BC}} {2} \end{cases} ⎩⎨⎧pmax(Q)2AD(A−D)24BCpmin(Q)2AD−(A−D)24BC 所以 pmin(Q)ZTZAD(A−D)24BC2(z12z22)p_{min}(Q) Z^T Z \frac {AD \sqrt{(A-D)^24BC}} {2} (z_1^2 z_2^2) pmin(Q)ZTZ2AD(A−D)24BC(z12z22)
ZTQZAz12(BC)Z1Z2Dz22Z^TQZ A z_1^2 (BC)Z_1Z_2 Dz_2^2 ZTQZAz12(BC)Z1Z2Dz22
比较 $p_{min}(Q) Z^T Z 与与与Z^TQZ$的大小为了简便运算将根号项用 RRR 表示 Dval2(ZTQZ−pmin(Q)ZTZ)(A−DR)z12(D−AR)z222(BC)z1z2(A−DR)[z12(D−AR)(A−DR)z222(BC)(A−DR)z1z2](A−DR)[z12(D−AR)(DR−A)(A−DR)(DR−A)z222(BC)(RD−A)(A−DR)(RD−A)z1z2](A−DR)[z12(DR−A)24BCz222(BC)(RD−A)4BCz1z2](A−DR)[z12(DR−A)24BCz22(DR−A)24BCz1z2(DR−A)24BCz1z22(BC)(RD−A)4BCz1z2](A−DR)[(z1DR−A2BCz2)2(2B2C−4BC)(RD−A)4BCz1z2]\begin{align} D_{val} 2(Z^TQZ - p_{min}(Q) Z^T Z ) \nonumber\\ (A-DR)z_1^2(D-AR)z_2^22(BC)z_1z_2 \nonumber\\ (A-DR)\left[z_1^2 \frac{(D-AR)}{(A-DR)}z_2^2 \frac{2(BC)}{(A-DR)}z_1z_2\right] \nonumber\\ (A-DR)\left[z_1^2 \frac{(D-AR)(DR-A)}{(A-DR)(DR-A)}z_2^2 \frac{2(BC)(RD-A)}{(A-DR)(RD-A)}z_1z_2\right] \nonumber \\ (A-DR)\left[z_1^2 \frac{(DR-A)^2}{4BC}z_2^2 \frac{2(BC)(RD-A)}{4BC}z_1z_2\right] \nonumber\\ (A-DR)\left[z_1^2 \frac{(DR-A)^2}{4BC}z_2^2 \sqrt{\frac{(DR-A)^2}{4BC}}z_1z_2 \sqrt{\frac{(DR-A)^2}{4BC}}z_1z_2 \frac{2(BC)(RD-A)}{4BC}z_1z_2\right] \nonumber\\ (A-DR)\left[(z_1 \frac{DR-A}{2 \sqrt{BC}}z_2)^2 \frac{(2B2C-4\sqrt{BC})(RD-A)}{4BC}z_1z_2\right] \nonumber\\ \end{align} Dval2(ZTQZ−pmin(Q)ZTZ)(A−DR)z12(D−AR)z222(BC)z1z2(A−DR)[z12(A−DR)(D−AR)z22(A−DR)2(BC)z1z2](A−DR)[z12(A−DR)(DR−A)(D−AR)(DR−A)z22(A−DR)(RD−A)2(BC)(RD−A)z1z2](A−DR)[z124BC(DR−A)2z224BC2(BC)(RD−A)z1z2](A−DR)[z124BC(DR−A)2z224BC(DR−A)2z1z24BC(DR−A)2z1z24BC2(BC)(RD−A)z1z2](A−DR)[(z12BCDR−Az2)24BC(2B2C−4BC)(RD−A)z1z2] 上式中 RA−D(A−D)24BC(A−D)≥0R A - D \sqrt{(A-D)^24BC} (A - D) \ge 0 RA−D(A−D)24BC(A−D)≥0
(z1DR−A2BCz2)2≥0(z_1 \frac{DR-A}{2 \sqrt{BC}}z_2)^2 \ge 0 (z12BCDR−Az2)2≥0
{2B2C−4BC≥0RD−A(A−D)24BC(D−A)≥0⇒(2B2C−4BC)(RD−A)4BC≥0\begin{cases} 2B2C-4\sqrt{BC} \ge 0 \\ RD-A \sqrt{(A-D)^24BC} (D - A) \ge 0 \\ \end{cases} \Rightarrow \frac{(2B2C-4\sqrt{BC})(RD-A)}{4BC} \ge 0 {2B2C−4BC≥0RD−A(A−D)24BC(D−A)≥0⇒4BC(2B2C−4BC)(RD−A)≥0
所以我们得到 ZTQZ≥pmin(Q)ZTZZ^TQZ \ge p_{min}(Q) Z^T Z ZTQZ≥pmin(Q)ZTZ 同理可证 ZTQZ≤pmax(Q)ZTZZ^TQZ \le p_{max}(Q) Z^T Z ZTQZ≤pmax(Q)ZTZ
李雅普诺夫函数导数的变换
上式是根据 V˙0−1∣z1∣ZTQZ\dot V_0 -\frac {1} {|z_1|} Z^TQZV˙0−∣z1∣1ZTQZ 做出的对于 V0ZTPZV_0 Z ^ T P ZV0ZTPZ 同样根据上式可得 向量的0范数向量中非零元素的个数 向量的1范数向量中各元素绝对值的模 向量的2范数通常意义上的模值欧几里得范数 向量的无穷范数向量的最大值 矩阵的1范数列和范数所有矩阵列向量绝对值之和的最大值 矩阵的2范数谱范数即 ATAA^TAATA矩阵的最大特征值的开平方 矩阵的无穷范数行和范数所有矩阵行向量绝对值之和的最大值 矩阵的F范数Forbenius范数所有矩阵元素绝对值的平方和再开放 ZTPZ≥pmin(P)ZTZ⇒(ZTPZ)1/2≥pmin1/2(P)(ZTZ)1/2pmin1/2(P)∥Z∥⇒∥Z∥≤(ZTPZ)1/2pmin1/2(P)V01/2pmin1/2(P)\begin{gather} Z^TPZ \ge p_{min}(P)Z^TZ \nonumber\\ \Rightarrow (Z^TPZ)^{1/2} \ge p_{min}^{1/2}(P)(Z^TZ)^{1/2} p_{min}^{1/2}(P) \Vert Z \Vert \nonumber\\ \Rightarrow \Vert Z\Vert \le \frac{(Z^TPZ)^{1/2}}{p_{min}^{1/2}(P)} \frac {V_0^{1/2}} {p_{min}^{1/2}(P)} \nonumber \end{gather} ZTPZ≥pmin(P)ZTZ⇒(ZTPZ)1/2≥pmin1/2(P)(ZTZ)1/2pmin1/2(P)∥Z∥⇒∥Z∥≤pmin1/2(P)(ZTPZ)1/2pmin1/2(P)V01/2
ZZZ的欧几里得范数为 ∥Z∥z12z22(∣s∣12sign(s))2ν2∣s∣ν≥∣s∣∣z1∣\Vert Z \Vert \sqrt {z_1^2 z_2^2} \sqrt{(|s| ^ {\frac {1} {2}}sign(s) )^2 \nu ^ 2} \sqrt{|s| \nu} \ge \sqrt{|s|} |z_1| ∥Z∥z12z22(∣s∣21sign(s))2ν2∣s∣ν≥∣s∣∣z1∣ 所以 −1∣z1∣≤−1∥Z∥-\frac {1}{\vert z_1 \vert} \le -\frac {1}{\Vert Z \Vert} −∣z1∣1≤−∥Z∥1 我们再次回到 V˙0\dot V_0V˙0 V˙0−1∣z1∣ZTQZ≤−1∣z1∣pmin(Q)ZTZ−1∣z1∣pmin(Q)∥Z∥2≤−1∥Z∥pmin(Q)∥Z∥2−pmin(Q)∥Z∥≤−pmin(Q)V012pmin12(P)−rV012\begin{align} \dot V_0 - \frac{1} {|z_1|} Z^TQZ \le - \frac{1} {|z_1|} p_{min}(Q)Z^TZ \nonumber \\ - \frac{1} {|z_1|} p_{min}(Q) \Vert Z \Vert ^ 2 \le -\frac {1}{\Vert Z \Vert} p_{min}(Q) \Vert Z \Vert ^ 2 \nonumber\\ -p_{min}(Q) \Vert Z \Vert \le -p_{min}(Q) \frac {V_0^{\frac{1}{2}}} {p_{min}^{\frac{1}{2}}(P)} \nonumber\\ -r V_0^{\frac{1}{2}} \nonumber \end{align} V˙0−∣z1∣1ZTQZ≤−∣z1∣1pmin(Q)ZTZ−∣z1∣1pmin(Q)∥Z∥2≤−∥Z∥1pmin(Q)∥Z∥2−pmin(Q)∥Z∥≤−pmin(Q)pmin21(P)V021−rV021 其中 rpmin(Q)pmin1/2(P)r \frac {p_{min}(Q)} {p_{min}^{1/2}(P)} rpmin1/2(P)pmin(Q) 若系统满足 V˙≤−rV12\dot V \le -rV^{\frac {1} {2}}V˙≤−rV21 其中r0r0r0 则系统可以在有限时间内稳定 矩阵Q正定性的保证
上面的证明保证了系统具有李雅普诺夫稳定性但是只有在r0r 0r0的情况下才能保证系统稳定此时需要 pmin(Q){p_{min}(Q)}pmin(Q)
与 pmin1/2(P){p_{min}^{1/2}(P)}pmin1/2(P) 保持同号由于矩阵PPP为正定矩阵所以pmin1/2(P){p_{min}^{1/2}(P)}pmin1/2(P)必大于0那么需要保证pmin(Q){p_{min}(Q)}pmin(Q)也大于0。 正定矩阵的特征值都是正数 Q[−4αελ(β4ε2)−12(β4ε2)α−λε−12(β4ε2)α−λε2ε]Q \begin{bmatrix} -4\alpha \varepsilon \lambda(\beta4 \varepsilon^2) -\frac{1}{2}(\beta4\varepsilon^2) \alpha-\lambda \varepsilon \\ -\frac{1}{2} (\beta4\varepsilon^2) \alpha-\lambda \varepsilon 2\varepsilon \end{bmatrix} Q[−4αελ(β4ε2)−21(β4ε2)α−λε−21(β4ε2)α−λε2ε]
不妨直接取 αλε12(β4ε2)\alpha \lambda \varepsilon \frac{1}{2}(\beta4\varepsilon^2) αλε21(β4ε2) 这样的话可以简化一下 Q[(λ−2ε)(β4ε2)−4λε2002ε]Q \begin{bmatrix} (\lambda-2\varepsilon)(\beta4 \varepsilon^2)-4\lambda \varepsilon^2 0\\ 0 2\varepsilon \end{bmatrix} Q[(λ−2ε)(β4ε2)−4λε2002ε] 所以 QQQ 的特征根为 {p1(λ−2ε)(β4ε2)−4λε2p22ε\begin{cases} p_1 (\lambda-2\varepsilon)(\beta4 \varepsilon^2)-4\lambda \varepsilon^2 \\ p_2 2\varepsilon \end{cases} {p1(λ−2ε)(β4ε2)−4λε2p22ε 由于 ε0\varepsilon 0ε0 所以 p20p_2 0p20非常显然现在只需要保证 p10p_10p10则可以有 λ2ε(β4ε2)β\lambda \frac{2\varepsilon(\beta4\varepsilon^2)} {\beta} λβ2ε(β4ε2)
重写李雅普诺夫函数
上一节中给出了保证 QQQ 正定性的条件但是 α\alphaα 和 λ\lambdaλ 这两个参数值是人为给出的因此需要把这两个参数加入到李雅普诺夫函数中来 VV012γ1(λ−λ∗)212γ2(α−α∗)2V V_0 \frac {1} {2\gamma_1} (\lambda-\lambda^{*})^2 \frac{1}{2\gamma_2} (\alpha-\alpha^{*})^2 VV02γ11(λ−λ∗)22γ21(α−α∗)2 其中 λ∗α∗\lambda^{*} \ \alpha^{*}λ∗ α∗ 为未知常数对其求导 V˙V˙01γ1(λ−λ∗)λ˙1γ2(α−α∗)α˙≤−rV0121γ1(λ−λ∗)λ˙1γ2(α−α∗)α˙−rV0121γ1(λ−λ∗)λ˙1γ2(α−α∗)α˙−ω12γ1∣λ−λ∗∣ω12γ1∣λ−λ∗∣−ω22γ2∣α−α∗∣ω22γ2∣α−α∗∣\begin{align} \dot V \dot V_0 \frac {1} {\gamma_1} (\lambda-\lambda^{*})\dot \lambda \frac{1}{\gamma_2} (\alpha-\alpha^{*})\dot \alpha \le -r V_0^{\frac{1}{2}} \frac {1} {\gamma_1} (\lambda-\lambda^{*})\dot \lambda \frac{1}{\gamma_2} (\alpha-\alpha^{*})\dot \alpha \nonumber\\ -r V_0^{\frac{1}{2}} \frac {1} {\gamma_1} (\lambda-\lambda^{*})\dot \lambda \frac{1}{\gamma_2} (\alpha-\alpha^{*})\dot \alpha -\frac {\omega_1} {\sqrt{2 \gamma_1}} |\lambda - \lambda^{*}|\frac {\omega_1} {\sqrt{2 \gamma_1}} |\lambda - \lambda^{*}| -\frac {\omega_2} {\sqrt{2 \gamma_2}} |\alpha - \alpha^{*}|\frac {\omega_2} {\sqrt{2 \gamma_2}} |\alpha - \alpha^{*}| \nonumber \end{align} V˙V˙0γ11(λ−λ∗)λ˙γ21(α−α∗)α˙≤−rV021γ11(λ−λ∗)λ˙γ21(α−α∗)α˙−rV021γ11(λ−λ∗)λ˙γ21(α−α∗)α˙−2γ1ω1∣λ−λ∗∣2γ1ω1∣λ−λ∗∣−2γ2ω2∣α−α∗∣2γ2ω2∣α−α∗∣ 根据 (x2y2z2)≤∣x∣∣y∣∣z∣(x^2 y^2 z^2) \le |x| |y| |z|(x2y2z2)≤∣x∣∣y∣∣z∣ 有 −rV012−ω12γ1∣λ−λ∗∣−ω22γ2∣α−α∗∣≤−[r2V012ω122γ1∣λ−λ∗∣2ω222γ2∣α−α∗∣2]12-r V_0^{\frac{1}{2}} - \frac {\omega_1} {\sqrt{2 \gamma_1}} |\lambda - \lambda^{*}|-\frac {\omega_2} {\sqrt{2 \gamma_2}} |\alpha - \alpha^{*}| \le - \left[r^2V_0^{\frac{1}{2}} \frac {\omega_1^2} {\sqrt{2 \gamma_1}} |\lambda - \lambda^{*}|^2 \frac {\omega_2^2} {\sqrt{2 \gamma_2}} |\alpha - \alpha^{*}|^2\right]^{\frac{1}{2}} −rV021−2γ1ω1∣λ−λ∗∣−2γ2ω2∣α−α∗∣≤−[r2V0212γ1ω12∣λ−λ∗∣22γ2ω22∣α−α∗∣2]21 设 r,ω1,ω2r,\omega_1,\omega_2r,ω1,ω2 中最小的数为 nnn则上式为 [r2V012ω122γ1∣λ−λ∗∣2ω222γ2∣α−α∗∣2]12≤−n[V01212γ1∣λ−λ∗∣212γ2∣α−α∗∣2]−nV12\left[r^2V_0^{\frac{1}{2}} \frac {\omega_1^2} {\sqrt{2 \gamma_1}} |\lambda - \lambda^{*}|^2 \frac {\omega_2^2} {\sqrt{2 \gamma_2}} |\alpha - \alpha^{*}|^2\right]^{\frac{1}{2}} \le-n \left[V_0^{\frac{1}{2}} \frac {1} {\sqrt{2 \gamma_1}} |\lambda - \lambda^{*}|^2 \frac {1} {\sqrt{2 \gamma_2}} |\alpha - \alpha^{*}|^2 \right] -nV^{\frac{1}{2}} [r2V0212γ1ω12∣λ−λ∗∣22γ2ω22∣α−α∗∣2]21≤−n[V0212γ11∣λ−λ∗∣22γ21∣α−α∗∣2]−nV21 带入 V˙\dot VV˙ 有 V˙≤−rV0121γ1(λ−λ∗)λ˙1γ2(α−α∗)α˙−ω12γ1∣λ−λ∗∣ω12γ1∣λ−λ∗∣−ω22γ2∣α−α∗∣ω22γ2∣α−α∗∣≤−nV121γ1(λ−λ∗)λ˙1γ2(α−α∗)α˙ω12γ1∣λ−λ∗∣ω22γ2∣α−α∗∣\begin {align} \dot V \le -r V_0^{\frac{1}{2}} \frac {1} {\gamma_1} (\lambda-\lambda^{*})\dot \lambda \frac{1}{\gamma_2} (\alpha-\alpha^{*})\dot \alpha -\frac {\omega_1} {\sqrt{2 \gamma_1}} |\lambda - \lambda^{*}|\frac {\omega_1} {\sqrt{2 \gamma_1}} |\lambda - \lambda^{*}| -\frac {\omega_2} {\sqrt{2 \gamma_2}} |\alpha - \alpha^{*}|\frac {\omega_2} {\sqrt{2 \gamma_2}} |\alpha - \alpha^{*}| \nonumber\\ \le -nV^{\frac{1}{2}} \frac {1} {\gamma_1} (\lambda-\lambda^{*})\dot \lambda \frac{1}{\gamma_2} (\alpha-\alpha^{*})\dot \alpha \frac {\omega_1} {\sqrt{2 \gamma_1}} |\lambda - \lambda^{*}| \frac {\omega_2} {\sqrt{2 \gamma_2}} |\alpha - \alpha^{*}| \nonumber \end {align} V˙≤−rV021γ11(λ−λ∗)λ˙γ21(α−α∗)α˙−2γ1ω1∣λ−λ∗∣2γ1ω1∣λ−λ∗∣−2γ2ω2∣α−α∗∣2γ2ω2∣α−α∗∣≤−nV21γ11(λ−λ∗)λ˙γ21(α−α∗)α˙2γ1ω1∣λ−λ∗∣2γ2ω2∣α−α∗∣ 由于 λ∗α∗\lambda^{*} \ \alpha^{*}λ∗ α∗ 为未知常数那我们假设 λ∗λα∗α\lambda^{*}\lambda \alpha^{*} \alphaλ∗λα∗α 总能找到两个常数满足这两个条件 V˙≤−nV121γ1(λ−λ∗)λ˙1γ2(α−α∗)α˙ω12γ1∣λ−λ∗∣ω22γ2∣α−α∗∣−nV12−1γ1∣λ−λ∗∣λ˙−1γ2∣α−α∗∣α˙ω12γ1∣λ−λ∗∣ω22γ2∣α−α∗∣−nV12∣λ−λ∗∣(ω12γ1−λ˙γ1)∣α−α∗∣(ω22γ2−λ˙γ2)\begin{align} \dot V \le -nV^{\frac{1}{2}} \frac {1} {\gamma_1} (\lambda-\lambda^{*})\dot \lambda \frac{1}{\gamma_2} (\alpha-\alpha^{*})\dot \alpha \frac {\omega_1} {\sqrt{2 \gamma_1}} |\lambda - \lambda^{*}| \frac {\omega_2} {\sqrt{2 \gamma_2}} |\alpha - \alpha^{*}| \nonumber\\ -nV^{\frac{1}{2}} - \frac {1} {\gamma_1} |\lambda-\lambda^{*}|\dot \lambda - \frac{1}{\gamma_2} |\alpha-\alpha^{*}|\dot \alpha \frac {\omega_1} {\sqrt{2 \gamma_1}} |\lambda - \lambda^{*}| \frac {\omega_2} {\sqrt{2 \gamma_2}} |\alpha - \alpha^{*}| \nonumber\\ -nV^{\frac{1}{2}} |\lambda-\lambda^{*}|(\frac {\omega_1} {\sqrt{2 \gamma_1}} - \frac{\dot \lambda} {\gamma_1}) |\alpha-\alpha^{*}|(\frac {\omega_2} {\sqrt{2 \gamma_2}} - \frac{\dot \lambda} {\gamma_2}) \nonumber \end{align} V˙≤−nV21γ11(λ−λ∗)λ˙γ21(α−α∗)α˙2γ1ω1∣λ−λ∗∣2γ2ω2∣α−α∗∣−nV21−γ11∣λ−λ∗∣λ˙−γ21∣α−α∗∣α˙2γ1ω1∣λ−λ∗∣2γ2ω2∣α−α∗∣−nV21∣λ−λ∗∣(2γ1ω1−γ1λ˙)∣α−α∗∣(2γ2ω2−γ2λ˙) 此时若令 λ˙ω1γ12\dot \lambda \omega_1 \sqrt{\frac{\gamma_1}{2}} λ˙ω12γ1 则 V˙≤−nV12∣λ−λ∗∣(ω22γ2−α˙γ2)−nV12η\dot V \le -nV^{\frac{1}{2}} |\lambda-\lambda^{*}|(\frac {\omega_2} {\sqrt{2 \gamma_2}} - \frac{\dot \alpha} {\gamma_2}) -nV^{\frac{1}{2}} \eta V˙≤−nV21∣λ−λ∗∣(2γ2ω2−γ2α˙)−nV21η 其中 η∣λ−λ∗∣(ω22γ2−α˙γ2)\eta |\lambda-\lambda^{*}|(\frac {\omega_2} {\sqrt{2 \gamma_2}} - \frac{\dot \alpha} {\gamma_2}) η∣λ−λ∗∣(2γ2ω2−γ2α˙) 所以此系统具有李雅普诺夫稳定性尽管有 η\etaη 存在系统仍然可以在一定程度上保持稳定原因在于我们证明了 V˙≤−nV12≤0\dot V \le -nV^{\frac{1}{2}} \le 0V˙≤−nV21≤0 而不是传统的 V˙≤0\dot V \le 0V˙≤0
