域名空间网站,360建筑网360,购物商城网站源码,装潢设计图片大全本系列文章将从下面不同角度解析线性代数的本质#xff0c;本文是本系列第二篇
向量究竟是什么#xff1f; 向量的线性组合#xff0c;基与线性相关 矩阵与线性相关 矩阵乘法与复合线性变换 三维空间中的线性变换 行列式 逆矩阵#xff0c;列空间#xff0c;秩与零空间 克…本系列文章将从下面不同角度解析线性代数的本质本文是本系列第二篇
向量究竟是什么 向量的线性组合基与线性相关 矩阵与线性相关 矩阵乘法与复合线性变换 三维空间中的线性变换 行列式 逆矩阵列空间秩与零空间 克莱姆法则 非方阵 点积与对偶性 叉积 以线性变换眼光看叉积 基变换 特征向量与特征值 抽象向量空间 快速计算二阶矩阵特征值 张量协变与逆变和秩 文章目录 矩阵乘法与复合线性变换三维空间中的线性变换行列式 矩阵乘法与复合线性变换
我们已经知道矩阵是一种线性变换现在对基向量连续施加两种线性变换例如先旋转再剪切其实这在整体上可以看作是一种新的变换这个新的变换被称为前两种独立变换的“复合变换”。
这个复合变换的矩阵可以通过追踪基向量的坐标得到如上图所示变换后的 i ⃗ \vec{i} i 坐标 [ 1 1 ] \begin{bmatrix} 1\\ 1 \end{bmatrix} [11]变换后的 j ⃗ \vec{j} j 坐标 [ − 1 0 ] \begin{bmatrix} -1\\ 0 \end{bmatrix} [−10]那么该复合变换矩阵就可以表示为 [ 1 − 1 1 0 ] \begin{bmatrix} 1 -1\\ 1 0 \end{bmatrix} [11−10]当我们求一个向量经过复合变换后的坐标时可以通过下图右边公式那样直接使用复合变换矩阵而不需要像下图左边那样对向量连续施加两次单独的变换。
更一般地对于矩阵乘法我们就有了新的认识他的几何意义是先施加一个变换再施加另一个变换施加顺序从右到左顺序不同得到的结果也不同。 推广到更一般地数学含义 g ( f ( x ) ) g( f( x)) g(f(x))
根据前面章节学习到的知识要想求线性变换对向量的作用首先要得到变换后的基向量的坐标让我们来看一个例子假设连续施加两个线性变换 M 1 M_{1} M1和 M 2 M_{2} M2。
要想跟踪 i ⃗ \vec{i} i 的去向先看 M 1 M_{1} M1的第一列这是经过 M 1 M_{1} M1变换后 i ⃗ \vec{i} i 首先到达的地方 [ e g ] \begin{bmatrix} e\\ g \end{bmatrix} [eg]然后新的 i ⃗ \vec{i} i 要经过 M 2 M_{2} M2的变换后到达最终目的地
该结果作为复合矩阵的第一列 j ⃗ \vec{j} j 经过同样的变换过程到达最终目的地结果为复合变换矩阵第二列复合变换的最终结果为
看这不就是课堂上老师教的矩阵乘法计算规则嘛只不过我们是从几何的角度推出来的。
大家可以从几何的角度来自行分析一下矩阵乘法的法则
交换律 M 1 M 2 ≠ M 2 M 1 M_{1} M_{2} \neq M_{2} M_{1} M1M2M2M1
结合率(AB)CA(BC)
三维空间中的线性变换
前面一直在讨论二维情况也就是将二维向量映射成二维向量其实只要掌握了二维线性变换的核心本质就能轻松的扩展到更高维的空间中。
三维空间变换以三维向量为输入以三维向量为输出和二维向量一样一个线性变换是在操纵三维空间中所有的点变换后保持空间中网格线等距且原点不变。
与二维一样三维线性变换也是由基向量的去向完全决定只不过基向量由 i ⃗ \vec{i} i j ⃗ \vec{j} j 变成了 i ⃗ \vec{i} i j ⃗ \vec{j} j , k ⃗ \vec{k} k ,例如我们得到变换后三个基向量的坐标那么由三个新的基向量组成矩阵就是三维线性变换矩阵 [ 1 1 1 0 1 0 − 1 0 1 ] \begin{bmatrix} 1 1 1\\ 0 1 0\\ -1 0 1 \end{bmatrix} 10−1110101 。 要想计算一个向量经过上面的三维变换后的新坐标同样可以参照二维空间的计算方式结果向量是基向量的线性组合。 同理两个三维矩阵的相乘也可以合并成一个复合变换矩阵三维变换在计算机图形学中有着广泛的应用。
三维矩阵的乘法同样遵循二维矩阵乘法的思路。
行列式
前面我们从几何的角度对线性变换有了很直观的认识其中有的线性变换对空间向外拉伸有的则是将空间向内挤压。 向内挤压 向外拉伸
有一种方法对于理解这些线性变换很有用那就是准确测量向内挤压了多少向外拉伸了多少更具体地讲就是计算出一个区域增大或减少的比例。
让我们来看一个例子假设一个线性变换矩阵 [ 3 0 0 2 ] \begin{bmatrix} 3 0\\ 0 2 \end{bmatrix} [3002]变换前基向量形成的四边形面积为1。 变换后如下图基向量形成一个2*3的矩形面积为6 所以我们说这个变换将基向量形成的方格拉伸了6倍根据线性变换的性质如下图所有可形成的区域都被拉伸了同样的大小。 现在我们要抛出一个重磅信息这个面积的变化的比例值就是该线性变换矩阵的行列式这就是行列式的几何意义。 如果行列式值大于1则代表该线性变换矩阵将一个区域进行拉伸大于0且小于1的数代表缩小负数代表反方向缩放。
注意如果一个线性变换矩阵的行列式为0则代表该变换将一个区域压缩成了一条线或者是一个点从几何意义上讲也就是说该变换将空间压缩到了更小的维度上这在我们后面判断线性方程组是否有解提供了重要依据。 同理三维线性变换的行列式代表的则是体积的变换比例如下图一个以初始基向量形成的111的立方体经过线性变换后该体积变成了如下图的大小。
三维变换矩阵的行列式为0代表空间被压缩成了一个面或者一个点如果行列式是负数说明空间定向已经发生改变不能用右手定则描述基向量之间的关系。
前面说了行列式的几何意义那如何求一个矩阵的行列式呢
上图是一个行列式的计算公式那它的几何意义是什么呢如下图假设给定一个特殊矩阵 [ a 0 0 d ] \begin{bmatrix} a 0\\ 0 d \end{bmatrix} [a00d] i ⃗ \vec{i} i 被缩放了a倍 j ⃗ \vec{j} j 被缩放了d倍变换前后面积缩放了ad倍这正符合行列式计算公式的结果。 前面我们给出了一个特殊的例子但推广到更一般的矩阵也是满足上面公式的。
