网站开发学费,广告联盟赚钱app,网站服务器放置地怎么填,作业提交免费网站文章目录 集合定义元素与集合的关系属于不属于 类型有限集合无限集合 表示方法列举法描述法归纳定义法 集合中元素的特点无序性互异性确定性 集合与集合的关系子集#xff08;包含#xff09;真子集 相等 属性大小#xff08;基数或势#xff09;幂集 几个特殊的集合空集全… 文章目录 集合定义元素与集合的关系属于不属于 类型有限集合无限集合 表示方法列举法描述法归纳定义法 集合中元素的特点无序性互异性确定性 集合与集合的关系子集包含真子集 相等 属性大小基数或势幂集 几个特殊的集合空集全集 基本运算交并补差相对补对称差环积 交并补的运算定律基本定律容斥原理 参考 集合
定义
集合难以严格定义
直观描述若干个有限或无限具有某种共同性质的事物的全体
称组成集合的单个事物为该集合元素或成员
通常用大写英文字母 A , B , C , ⋯ A,B,C,\cdots A,B,C,⋯ 表示集合 用小写英文字母 a , b , c , ⋯ a,b,c,\cdots a,b,c,⋯ 表示元素
例如全中国人的集合它的元素是每一个中国人共同性质是中国人
元素与集合的关系
属于
若元素 a a a 在集合 A A A 中则称 a a a 属于 A A A记作 a ∈ A a\in A a∈A
不属于
若元素 a a a 不在集合 A A A 中则称 a a a 不属于 A A A记作 a ∉ A a\notin A a∈/A
类型
有限集合
包含有限个元素包含0个的集合称为有限集合
无限集合
参考无限集合的定义
表示方法
列举法
将集合中的元素在一对大括号 “ { } \{\} {}” 中一一列举出来 如 { 1 , 2 , 3 } \{1,2,3\} {1,2,3}
当集合的元素较多且具有一定规律时可简写为 先列一些元素用省略号表示其他元素写出规律项省略号若是有限集还需列出末尾元素 如
正偶数集 { 2 , 4 , ⋯ , 2 n , ⋯ } \{2,4,\cdots,2n,\cdots\} {2,4,⋯,2n,⋯}小于 100 100 100 的正偶数集 { 2 , 4 , ⋯ , 2 n , ⋯ , 100 } \{2,4,\cdots,2n,\cdots,100\} {2,4,⋯,2n,⋯,100}
适用情况
集合元素较少有规律的无限集和元素较多的有限集
描述法
描述出集合中元素的共同性质描述法的形式为 { 代表元素 ∣ 满足的性质 } \{代表元素|满足的性质\} {代表元素∣满足的性质} 如中国省份集合 A { x ∣ x 是中国的省份 } A\{x|x是中国的省份\} A{x∣x是中国的省份}
归纳定义法
一个集合 S S S 的归纳定义由三部分组成
基础条款给定集合 S S S 初始元素使得 S S S 为非空集合归纳条款给定由集合 S S S 中已有的元素构造出新元素的方法极小性条款集合 S S S 中的元素必须能通过有限次应用基础条款和归纳条款构成否则其不属于 S S S 这个条款还可写成 集合 S S S 是满足基础条款和归纳条款的最小集合或 若 T ⊆ S T\subseteq S T⊆S T T T 又满足基础条款和归纳条款那么 T S TS TS
下面是用归纳定义发给出能被 3 3 3 整除的正整数集合 S S S
基础 3 ∈ S 3\in S 3∈S归纳若 x , y ∈ S x,y\in S x,y∈S则 x y ∈ S xy\in S xy∈S极小性当且仅当有限次使用条款1和条款2得到的元素才属于集合 S S S
集合中元素的特点
无序性
集合中的元素是无序的
如集合 { 1 , 2 , 3 } \{1,2,3\} {1,2,3} 等于集合 { 3 , 2 , 1 } \{3,2,1\} {3,2,1}
互异性
集合中不能有两个相同的元素
如不会有集合 { 1 , 2 , 2 } \{1,2,2\} {1,2,2}
确定性
任意元素要么属于某个集合要么不属于该集合
集合与集合的关系
子集包含
若集合 A A A 的每个元素都是集合 B B B 的元素则称 A A A 为 B B B 的子集或 A A A 包含 B B B又称 B B B 包含于 A A A记作 A ⊆ B A\subseteq B A⊆B 或 B ⊇ A B\supseteq A B⊇A 若 A A A 不是 B B B 的子集则记作 A ⊈ B A\nsubseteq B A⊈B
用谓词公式表示为 A ⊆ B ⇔ ∀ x ( x ∈ A → x ∈ B ) A\subseteq B\Leftrightarrow \forall x(x\in A\rightarrow x\in B) A⊆B⇔∀x(x∈A→x∈B)
子集具有传递性即 若 A ⊆ B A\subseteq B A⊆B 且 B ⊆ C B\subseteq C B⊆C则 A ⊆ C A\subseteq C A⊆C
子集具有自反性即 A ⊆ A A\subseteq A A⊆A
真子集
若集合 A A A 的每个元素都是集合 B B B 的元素但 B B B 至少有一个元素不属于 A A A则称 A A A 是 B B B 的真子集记作 A ⊂ B A\subset B A⊂B 或 B ⊃ A B\supset A B⊃A 若 A A A 不是 B B B 的真子集则记作 A ⊄ B A\not\subset B A⊂B
用谓词公式表示为 A ⊂ B ⇔ ∀ x ( x ∈ A → x ∈ B ) ∧ ∃ y ( y ∈ B ∧ y ∉ A ) ⇔ ( A ⊆ B ) ∧ ( A ≠ B ) \begin{aligned} A\subset B\Leftrightarrow \forall x(x\in A\rightarrow x\in B)\land \exists y(y\in B \land y\notin A) \\ \Leftrightarrow (A\subseteq B)\land (A\neq B) \end{aligned} A⊂B⇔∀x(x∈A→x∈B)∧∃y(y∈B∧y∈/A)⇔(A⊆B)∧(AB)
相等 A B AB AB 当且仅当 A A A 和 B B B 具有相同的元素 不相等记作 A ≠ B A\neq B AB
用谓词公式表示为 A B ⇔ ∀ x ( x ∈ A ↔ x ∈ B ) ⇔ ( A ⊆ B ) ∧ ( B ⊆ A ) \begin{aligned} AB\Leftrightarrow \forall x(x\in A\leftrightarrow x\in B)\\ \Leftrightarrow (A\subseteq B)\land (B\subseteq A) \end{aligned} AB⇔∀x(x∈A↔x∈B)⇔(A⊆B)∧(B⊆A)
属性
大小基数或势
对于一个有限集合 A A A其大小为集合所含元素的个数记作 ∣ A ∣ |A| ∣A∣ 如集合 A { 1 , 2 , 3 } A\{1,2,3\} A{1,2,3} 的大小 ∣ A ∣ 3 |A|3 ∣A∣3
对于无限集合的大小请参考无限集合的大小
幂集
以集合 A A A 的所有子集为元素的集合称作 A A A 的幂集记作 ρ ( A ) \rho(A) ρ(A)
如集合 A { 1 , 2 , 3 } A\{1,2,3\} A{1,2,3} 的幂集 ρ ( A ) { ∅ , { 1 } , { 2 } , { 3 } , { 1 , 2 } , { 1 , 3 } , { 2 , 3 } , { 1 , 2 , 3 } } \rho(A)\{\varnothing,\{1\},\{2\},\{3\},\{1,2\},\{1,3\},\{2,3\},\{1,2,3\}\} ρ(A){∅,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}}
若集合 A A A 大小 ∣ A ∣ n |A|n ∣A∣n则其幂集大小 ∣ ρ ( A ) ∣ C n 0 C n 1 C n 2 ⋯ C n n 2 n \begin{aligned} |\rho(A)|C_n^0C_n^1C_n^2\cdotsC_n^n\\ 2^n \end{aligned} ∣ρ(A)∣Cn0Cn1Cn2⋯Cnn2n
由幂集可知集合的元素可以是集合 如可以有集合 A { 1 , { 2 , 3 } } A\{1,\{2,3\}\} A{1,{2,3}}此时 { 2 , 3 } ∈ A \{2,3\}\in A {2,3}∈A 但 2 ∉ A 2\notin A 2∈/A
几个特殊的集合
空集
不含任何元素的集合称为空集记作 ∅ \varnothing ∅
空集是任意集合的子集是任意非空集合的真子集
需要注意的是空集是唯一的
全集
一定范围内所有事物组成的集合称为该范围内的全集记为 U U U
基本运算
交
集合 A A A 与 B B B 的交集就是同时属于 A A A 和 B B B 的元素所构成的集合记作 A ∩ B A\cap B A∩B
用谓词公式表示为 A ∩ B { x ∣ x ∈ A ∧ x ∈ B } A\cap B\{x|x\in A\land x\in B\} A∩B{x∣x∈A∧x∈B}
用文氏图表示为
并
集合 A A A 与 B B B 的并集就是属于 A A A 或 B B B 其中之一的元素所构成的集合记作 A ∪ B A\cup B A∪B
用谓词公式表示为 A ∪ B { x ∣ x ∈ A ∨ x ∈ B } A\cup B\{x|x\in A\lor x\in B\} A∪B{x∣x∈A∨x∈B}
用文氏图表示为
补
集合 A A A 的就是属于全集 U U U 但不属于 A A A 的元素所构成的集合记作 A ‾ \overline A A
用谓词公式表示为 A ‾ { x ∣ x ∈ A ∧ x ∉ U } \begin{aligned} \overline A \{x|x\in A\land x\notin U\}\\ \end{aligned} A{x∣x∈A∧x∈/U}
用文氏图表示为
差相对补
集合 A A A 与 B B B 的差集就是属于 A A A 但不属于 B B B 的元素所构成的集合记作 A − B A-B A−B
用谓词公式表示为 A − B { x ∣ x ∈ A ∧ x ∉ B } A ∩ B ‾ \begin{aligned} A-B\{x|x\in A\land x\notin B\}\\ A\cap \overline B \end{aligned} A−B{x∣x∈A∧x∈/B}A∩B
用文氏图表示为
对称差
集合 A A A 与 B B B 的对称差集就是属于 A A A 但不属于 B B B 及属于 B B B 但不属于 A A A 的元素所构成的集合记作 A ⊕ B A\oplus B A⊕B
用谓词公式表示为 A ⊕ B { x ∣ ( x ∈ A ∧ x ∉ B ) ∨ ( x ∈ B ∧ x ∉ A ) } ( A ∪ B ) − ( A ∩ B ) ( A − B ) ∪ ( B − A ) \begin{aligned} A\oplus B\{x|(x\in A\land x\notin B)\lor(x\in B\land x\notin A)\}\\ (A\cup B)-(A\cap B)\\ (A-B)\cup (B-A) \end{aligned} A⊕B{x∣(x∈A∧x∈/B)∨(x∈B∧x∈/A)}(A∪B)−(A∩B)(A−B)∪(B−A)
用文氏图表示为
环积
集合 A A A 与 B B B 的环积集就是属于 A A A 且属于 B B B 或不属于 A A A 且不属于 B B B 的元素所构成的集合记作 A ⊗ B A\otimes B A⊗B
用谓词公式表示为 A ⊗ B { x ∣ ( x ∈ A ∧ x ∈ B ) ∨ ( x ∉ A ∧ x ∉ B ) } A ⊕ B ‾ ( A ∩ B ) ∪ ( A ‾ ∩ B ‾ ) \begin{aligned} A\otimes B\{x|(x\in A\land x\in B)\lor (x\notin A\land x\notin B)\}\\ \overline{A\oplus B}\\ (A\cap B)\cup(\overline A\cap \overline B) \end{aligned} A⊗B{x∣(x∈A∧x∈B)∨(x∈/A∧x∈/B)}A⊕B(A∩B)∪(A∩B)
用文氏图表示为
交并补的运算定律
交、并、补运算是集合最基本的三种运算其他运算都可用交、并、补的组合表示
基本定律
定律描述交换律 A ∩ B B ∩ A A\cap BB\cap A A∩BB∩A A ∪ B B ∪ A A\cup BB\cup A A∪BB∪A结合律 A ∩ ( B ∩ C ) ( A ∩ B ) ∩ C A\cap(B\cap C)(A\cap B)\cap C A∩(B∩C)(A∩B)∩C A ∪ ( B ∪ C ) ( A ∪ B ) ∪ C A\cup(B\cup C)(A\cup B)\cup C A∪(B∪C)(A∪B)∪C分配律 A ∩ ( B ∪ C ) ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ C ) A\cap(B\cup C)(A\cap B)\cup(A\cap C) A∩(B∪C)(A∩B)∪(A∩C) A ∪ ( B ∩ C ) ( A ∪ B ) ∩ ( A ∩ C ) A\cup(B\cap C)(A\cup B)\cap(A\cap C) A∪(B∩C)(A∪B)∩(A∩C)吸收律 A ∩ ( A ∪ B ) A A\cap(A\cup B)A A∩(A∪B)A A ∪ ( A ∩ B ) A A\cup(A\cap B)A A∪(A∩B)A对合律 A ‾ ‾ A \overline{\overline A}A AA等幂律 A ∩ A A A\cap AA A∩AA A ∪ A A A\cup AA A∪AA零一律 A ∩ ∅ ∅ A\cap \varnothing\varnothing A∩∅∅ A ∪ U U A\cup UU A∪UU同一律 A ∩ U A A\cap UA A∩UA A ∪ ∅ A A\cup \varnothingA A∪∅A矛盾律 A ∩ A ‾ ∅ A\cap\overline A\varnothing A∩A∅排中律 A ∪ A ‾ U A\cup \overline AU A∪AU德·摩根律 A ∩ B ‾ A ‾ ∪ B ‾ \overline{A\cap B}\overline A\cup\overline B A∩BA∪B A ∪ B ‾ A ‾ ∩ B ‾ \overline{A\cup B}\overline A\cap\overline B A∪BA∩B以上定理用真值表即可很容易地证明
容斥原理
参考容斥原理
参考
[1] 离散数学西安电子科技大学出版社第二版 [2] CSDN 博客离散数学 集合论 [3] 集合的百度百科
