前言

本篇博客主要讲述的是有关二叉树的一些概念，性质以及部分性质的相关证明，如果大伙发现了啥错误，可以在评论区指出😘😘

1.二叉树的概念和结构

一棵二叉树是节点的一个有限集合，该集合：

1. 或者为空
   2.由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成。
   如下图所示：

特殊的二叉树：

1. 满二叉树:一个二叉树，每一层的节点都达到最大值，这个二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一个二叉树的层次为k，且结点总数是2^k-1，这棵树就是满二叉树。

由于每层都是满的，所以节点总数：
2^0 + 2^0 + 2^1 + ······+ 2^(k-1) = 2^k - 1

2. **完全二叉树：**完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为k的，有n个节点的二叉树，当且仅当其每个节点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时称之为完全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。（通俗的来讲，就是当二叉树的前k-1层为满二叉树，最后一层的节点连续排布时就是完全二叉树）

从该定义同时也可以知道，满二叉树是一个特殊的完全二叉树。
如下图所示即是满二叉树:

二叉树的性质

1. 若规定根节点的层数是1，则一颗非空二叉树第i层上最多有2^(i-1)个结点。（根据二叉树的结构不难看出）
2. 若规定根结点的层数为1，则深度为h的二叉树的最大结点数是$2^h-1$.

上面在讲解满二叉树时已经给出证明。

3. 对于任何一棵二叉树，如果度为0其叶节点个数为$n_0$,度为2的分支结点个数为$n_2$,则有$n_0$ = $n_2$ + 。

这里提供两种方法进行帮助理解：
1.关系推导：
（1）首先，对一个只有根节点的树添加一个结点，此时度为0的结点数不点，也就是增加一个度为1的结点，并不影响度为0的结点和度为2的结点个数。

(2)在此之后，每次多一个度为2的结点数，度为0的结点数也会增加一个，所以度为0的结点数总是比度为2的结点数多1。

2. 数学推导
已知一棵二叉树的结点总数为
$S$ = $n_0$+$n_1$+$n_2$
$S$ = $n_2\ast 2$ + $n_1\ast 1$ + $n_0\ast 0$
联立两式即可得出$n_0$ = $n_2+1$

4. 若规定根结点的层数为1，具有n个结点的满二叉树的深度，h=$lo{g}_2(n+1)$。

该性质的证明即是结点总个数的逆推导。

5. 对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的数组顺序对所有结点从0开始编号，则对于序号为i的结点有：

• 若i>0，i位置结点的双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根结点编号，无双亲结点
• 若2i+1<n，左孩子序号：2i+1，2i+1>=n否则无左孩子
• 若2i+2<n，右孩子序号：2i+2，2i+2>=n否则无右孩子