Day45

爬楼梯

70. 爬楼梯 - 力扣（LeetCode）

题目

假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。

每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？

注意：给定 n 是一个正整数。

示例 1： 输入： 2 输出： 2 解释： 有两种方法可以爬到楼顶。

1. 1 阶 + 1 阶
2. 2 阶

示例 2： 输入： 3 输出： 3 解释： 有三种方法可以爬到楼顶。

1. 1 阶 + 1 阶 + 1 阶
2. 1 阶 + 2 阶
3. 2 阶 + 1 阶

思路

动规五部曲分析如下：

• 确定dp数组以及下标的含义

dp[i]：爬到有i个台阶的楼顶，有dp[i]种方法。

• 确定递推公式

在动态规划：494.目标和 (opens new window)、 动态规划：518.零钱兑换II (opens new window)、动态规划：377. 组合总和 Ⅳ (opens new window)中我们都讲过了，求装满背包有几种方法，递推公式一般都是dp[i] += dp[i - nums[j]];

本题呢，dp[i]有几种来源，dp[i - 1]，dp[i - 2]，dp[i - 3] 等等，即：dp[i - j]

那么递推公式为：dp[i] += dp[i - j]

• dp数组如何初始化

既然递归公式是 dp[i] += dp[i - j]，那么dp[0] 一定为1，dp[0]是递归中一切数值的基础所在，如果dp[0]是0的话，其他数值都是0了。

下标非0的dp[i]初始化为0，因为dp[i]是靠dp[i-j]累计上来的，dp[i]本身为0这样才不会影响结果

• 确定遍历顺序

这是背包里求排列问题，即：1、2 步 和 2、1 步都是上三个台阶，但是这两种方法不一样！

所以需将target放在外循环，将nums放在内循环。

每一步可以走多次，这是完全背包，内循环需要从前向后遍历。

• 举例来推导dp数组

介于本题和动态规划：377. 组合总和 Ⅳ (opens new window)几乎是一样的，这里我就不再重复举例了。

代码

class Solution {public int climbStairs(int n) {int dp[] = new int[n + 1];int step[] = new int[]{1,2};dp[0] = 1;for(int i = 0; i < n + 1; i++){for(int j = 0; j < step.length; j++){if(i >= step[j]){dp[i] += dp[i - step[j]];}}}return dp[n];}
}

零钱兑换

322. 零钱兑换 - 力扣（LeetCode）

题目

给定不同面额的硬币 coins 和一个总金额 amount。编写一个函数来计算可以凑成总金额所需的最少的硬币个数。如果没有任何一种硬币组合能组成总金额，返回 -1。

你可以认为每种硬币的数量是无限的。

示例 1：

• 输入：coins = [1, 2, 5], amount = 11
• 输出：3
• 解释：11 = 5 + 5 + 1

示例 2：

• 输入：coins = [2], amount = 3
• 输出：-1

示例 3：

• 输入：coins = [1], amount = 0
• 输出：0

示例 4：

• 输入：coins = [1], amount = 1
• 输出：1

示例 5：

• 输入：coins = [1], amount = 2
• 输出：2

提示：

• 1 <= coins.length <= 12
• 1 <= coins[i] <= 2^31 - 1
• 0 <= amount <= 10^4

思路

• 确定dp数组以及下标的含义

dp[j]: 凑出 j 元最少需要 dp[j] 枚硬币

• 确定递推公式

凑足总额为j - coins[i]的最少个数为dp[j - coins[i]]，那么只需要加上一个钱币coins[i]即dp[j - coins[i]] + 1就是dp[j]（考虑coins[i]）

所以dp[j] 要取所有 dp[j - coins[i]] + 1 中最小的。

递推公式：dp[j] = min(dp[j - coins[i]] + 1, dp[j]);

• dp数组如何初始化

首先凑足总金额为0所需钱币的个数一定是0，那么dp[0] = 0;

其他下标对应的数值呢？

考虑到递推公式的特性，dp[j]必须初始化为一个最大的数，否则就会在min(dp[j - coins[i]] + 1, dp[j])比较的过程中被初始值覆盖。

所以下标非0的元素都是应该是最大值。

• 确定遍历顺序

本题求钱币最小个数，那么钱币有顺序和没有顺序都可以，都不影响钱币的最小个数。

所以本题并不强调集合是组合还是排列。

如果求组合数就是外层for循环遍历物品，内层for遍历背包。

如果求排列数就是外层for遍历背包，内层for循环遍历物品。

在动态规划专题我们讲过了求组合数是动态规划：518.零钱兑换II (opens new window)，求排列数是动态规划：377. 组合总和 Ⅳ (opens new window)。

所以本题的两个for循环的关系是：外层for循环遍历物品，内层for遍历背包或者外层for遍历背包，内层for循环遍历物品都是可以的！

那么我采用coins放在外循环，target在内循环的方式。

本题钱币数量可以无限使用，那么是完全背包。所以遍历的内循环是正序

• 举例推导dp数组

以输入：coins = [1, 2, 5], amount = 5为例

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-nOwSZb9p-1690615913100)(https://code-thinking-1253855093.file.myqcloud.com/pics/20210201111833906.jpg “322.零钱兑换”)]

代码

class Solution {public int coinChange(int[] coins, int amount) {int dp[] = new int[amount + 1];Arrays.fill(dp, Integer.MAX_VALUE);dp[0] = 0;for(int i = 0; i < amount + 1; i++){for(int j = 0; j < coins.length; j++){if(i >= coins[j] && dp[i - coins[j]] != Integer.MAX_VALUE){dp[i] = Math.min(dp[i], dp[i - coins[j]] + 1);}}}return dp[amount] == Integer.MAX_VALUE ? -1 : dp[amount];}
}

完全平方数

279. 完全平方数 - 力扣（LeetCode）

题目

给定正整数 n，找到若干个完全平方数（比如 1, 4, 9, 16, …）使得它们的和等于 n。你需要让组成和的完全平方数的个数最少。

给你一个整数 n ，返回和为 n 的完全平方数的 最少数量 。

完全平方数 是一个整数，其值等于另一个整数的平方；换句话说，其值等于一个整数自乘的积。例如，1、4、9 和 16 都是完全平方数，而 3 和 11 不是。

示例 1：

• 输入：n = 12
• 输出：3
• 解释：12 = 4 + 4 + 4

示例 2：

• 输入：n = 13
• 输出：2
• 解释：13 = 4 + 9

提示：

• 1 <= n <= 10^4

思路

可能刚看这种题感觉没啥思路，又平方和的，又最小数的。

我来把题目翻译一下：完全平方数就是物品（可以无限件使用），凑个正整数n就是背包，问凑满这个背包最少有多少物品？

感受出来了没，这么浓厚的完全背包氛围

• 确定dp数组（dp table）以及下标的含义

dp[j]：和为j的完全平方数的最少数量为dp[j]

• 确定递推公式

dp[j] 可以由dp[j - i * i]推出， dp[j - i * i] + 1 便可以凑成dp[j]。

此时我们要选择最小的dp[j]，所以递推公式：dp[j] = min(dp[j - i * i] + 1, dp[j]);

• dp数组如何初始化

dp[0]表示 和为0的完全平方数的最小数量，那么dp[0]一定是0。

有同学问题，那0 * 0 也算是一种啊，为啥dp[0] 就是 0呢？

看题目描述，找到若干个完全平方数（比如 1, 4, 9, 16, …），题目描述中可没说要从0开始，dp[0]=0完全是为了递推公式。

非0下标的dp[j]应该是多少呢？

从递归公式dp[j] = min(dp[j - i * i] + 1, dp[j]);中可以看出每次dp[j]都要选最小的，所以非0下标的dp[j]一定要初始为最大值，这样dp[j]在递推的时候才不会被初始值覆盖。

• 确定遍历顺序

我们知道这是完全背包，

如果求组合数就是外层for循环遍历物品，内层for遍历背包。

如果求排列数就是外层for遍历背包，内层for循环遍历物品。

在动态规划：322. 零钱兑换 (opens new window)中我们就深入探讨了这个问题，本题也是一样的，是求最小数！

所以本题外层for遍历背包，内层for遍历物品，还是外层for遍历物品，内层for遍历背包，都是可以的！

• 举例推导dp数组

已输入n为5例，dp状态图如下：

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-IoGWI7QK-1690615913101)(https://code-thinking-1253855093.file.myqcloud.com/pics/20210202112617341.jpg “279.完全平方数”)]

代码

class Solution {public int numSquares(int n) {int dp[] = new int[n + 1];Arrays.fill(dp, Integer.MAX_VALUE);dp[0] = 0;for(int i = 1; i < n + 1; i++){for(int j = 1; j * j <= i; j++){dp[i] = Math.min(dp[i], dp[i - j * j] + 1);}}return dp[n];}
}