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文章使用模块化（modular）的思想，分别从采样、训练、score network设计三个方面分析和改进diffusion-based models。

之前的工作¹已经把diffusion-based models统一到SDE或者ODE框架下了，这篇文章的作者同样也从SDE和ODE的角度出发，不过换了一种SDE和ODE的表示形式。

假设有方差是${\sigma }_{data}$的数据分布$p_{data}(\mathbf{x})$。考虑一族分布$p(\mathbf{x};\sigma )$，其通过对数据添加方差为$\sigma$的高斯噪声产生。在变化的过程中加入缩放$\mathbf{x}=s(t)\hat{\mathbf{x}}$，则有下面的ODE：
$$\mathrm{d}\mathbf{x}=\left[\frac{\dot{s}(t)}{s(t)}\mathbf{x}-s(t{)}^2\dot{\sigma }(t)\sigma (t){\nabla }_{\mathbf{x}}\log p(\frac{\mathbf{x}}{s(t)};\sigma (t))\right]dt\text{\hspace{1em}(4)}$$perturbation kernel的形式是：
$$p_{0t}(\mathbf{x}(t)|\mathbf{x}(0))=\mathcal{N}(\mathbf{x}(t);s(t)\mathbf{x}(0),s(t{)}^2\sigma (t{)}^2\mathbf{I})\text{\hspace{1em}(11)}$$在之前的工作¹中SDE的形式是：
$$\mathrm{d}\mathbf{x}=f(t)\mathbf{x}+g(t)d{w}_t\text{\hspace{1em}(10)}$$其中$s(t)=\exp ({\int }_o^{t}f(\xi )d\xi )$，$\sigma (t)=\sqrt{{\int }_o^t\frac{g(\xi {)}^2}{s(\xi {)}^2}d\xi }$。

不同于之前的论文，这篇文章考虑的是一个直接估计去噪输出的去噪函数$D(\mathbf{x};\sigma )$。
$${\mathbb{E}}_{y\sim p_{data}}{\mathbb{E}}_{\mathbf{n}\sim \mathcal{N}(0,{\sigma }^2\mathbf{I})}\Vert D(\mathbf{y}+\mathbf{n};\sigma )-\mathbf{y}{\Vert }_2^2,{\nabla }_{\mathbf{x}}\log p(\mathbf{x};\sigma )=(D(\mathbf{x};\sigma )-\mathbf{x})/{\sigma }^2\text{\hspace{1em}(2,3)}$$其中$\mathbf{y}$是训练样本，$\mathbf{n}$是添加的噪声。在这种设置下，score function变成了用$D(\mathbf{x};\sigma )$估计添加的噪声。用网络$D_{\theta }(\mathbf{x};\sigma )$按照公式（2）可以估计$D(\mathbf{x};\sigma )$。需要注意的是，$D_{\theta }(\mathbf{x};\sigma )$可能包括额外的预处理步骤和后处理步骤。

ODE解轨迹的形状由$\sigma (t)$和$s(t)$决定。因为在求解微分方程的时候截断误差（truncation error）和$dx/dt$的曲率有关，作者认为最好的选择是$\sigma (t)=t$和$s(t)=1$，这样$dx/dt=(\mathbf{x}-D(\mathbf{x};t))/t$，并且$\sigma$和$t$是相同的，两个符号可以串着用。好处是在任何$x,t$位置，一个到$t=0$的Euler步就是对去噪图像的估计$D_{\theta }(\mathbf{x};t)$，解估计的切线总是指向去噪图像。如下图所示（c）也就是$\sigma (t)=t$和$s(t)=1$的情况，这和DDIM相同。

SDE可以表示成：

这揭示了为什么随机性在实践中有帮助：隐式朗之万扩散驱动样本在给定时间朝向所需的边际分布，主动纠正早期采样步骤中产生的任何错误。

直接用网络$D_{\theta }$预测$D(\mathbf{x};\sigma )$在实践中效果并不好，作者考虑对网络$F_{\theta }$添加预处理步骤和后处理步骤来预测$D(\mathbf{x};\sigma )$
$$D_{\theta }(\mathbf{x};\sigma )=c_{skip}(\sigma )\mathbf{x}+c_{out}(\sigma )F_{\theta }(c_{in}(\sigma )\mathbf{x};c_{noise}(\sigma ))$$