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联合概率：
联合概率是统计学中的一个概念，用于描述两个或多个随机事件同时发生的概率。当我们谈论多个变量的联合概率时，我们是在探讨这些变量同时取特定值的概率。
让我们简化一下概念：
- 假设你有一个骰子（六面），另有一个硬币。骰子掷出特定数字的概率是独立的概率，硬币正面朝上的概率也是独立的概率。如果你同时掷骰子和硬币，骰子显示3且硬币正面朝上同时发生的概率（比如说1/6乘以1/2）就是一个联合概率的例子。
The prediction of the atom positions is the key issue in the auto-regressive 3D molecular generation. A common strategy is to predict the distributions of distances between the new atoms and all previous atoms (Gebauer et al., 2018, 2019) and sample from the joint distributions. However, the long range distances are hard to predict, which introduces additional errors in the atom generation. Another strategy is to build a local spherical coordinate systems and predict the positions in the local space (Simm et al., 2020), but the transformation between Euclidean space and spherical space is inefficient and not straightforward.
【ICML 2022】Pocket2Mol + Efficient Molecular Sampling Based on 3D Protein Pockets
方法一：预测新的原子与以往原子的分布距离，然后从联合概率中采样
A common strategy is to predict the distributions of distances between the new atoms and all previous atoms and sample from the joint distributions. 然而，长距离很难预测，这在原子生成中引入了额外的误差。
Gebauer, N. W., Gastegger, M., and Sch¨utt, K. T. Generating equilibrium molecules with deep neural networks. arXiv preprint arXiv:1810.11347, 2018.
Gebauer, N. W., Gastegger, M., and Sch¨utt, K. T. Symmetry adapted generation of 3d point sets for the targeted discovery of molecules. arXiv preprint arXiv:1906.00957, 2019.
方法二：建立局部球面坐标系
Another strategy is to build a local spherical coordinate systems（建立局部球面坐标系） and predict the positions in the local space (Simm et al., 2020), 但欧几里得空间和球面空间之间的转换效率低下且不直接。
这种方法指的是在自回归3D分子生成中建立局部球坐标系，并在该局部空间内预测新原子的位置。具体来说，它涉及以下几个步骤：
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建立局部球坐标系：对于每个新原子，首先选择一个已存在的原子作为参考点，然后以这个参考点为中心建立一个局部球坐标系。这个局部球坐标系以参考点为原点，球面上的点表示可能的新原子位置。
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预测位置：在建立好的局部球坐标系中，模型预测新原子相对于参考点的球坐标，例如极径、极角和方位角。这些球坐标可以直接转换成笛卡尔坐标，从而确定新原子在三维空间中的位置。
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逐步生成：这个过程是自回归的，每次添加一个新原子，就会重复上述步骤来确定新原子的位置。通常情况下，选择的参考点是已经生成的分子中的一个原子，而不是固定的参考点。
这种方法相对于预测新原子与所有已存在原子之间的距离分布，更加直接地在局部空间内进行位置预测。它的优势在于避免了全局距离分布预测的复杂性和不确定性，同时更加高效，因为它直接将问题转化为局部坐标系内的位置预测。然而，这种方法的挑战在于局部球坐标系与笛卡尔坐标系之间的转换可能并不简单，并且可能会引入一些额外的误差。
Simm, G. N., Pinsler, R., Cs´anyi, G., and Hern´andez-Lobato, J. M. Symmetry-aware actor-critic for 3d molecular design. arXiv preprint arXiv:2011.12747, 2020.