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news 2026/4/10 6:17:04

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🙌作者简介：数学与计算机科学学院出身、在职高校高等数学专任教师，分享学习经验、生活、努力成为像代码一样有逻辑的人！
🌙个人主页：阿芒的主页
⭐ 高等数学专栏介绍：本专栏系统地梳理高等数学这门课的知识点，参考书主要为经典的同济版第七版《高等数学》以及作者在高校使用的《高等数学》系统教材。梳理《高等数学》这门课，旨在帮助那些刚刚接触这门课的小白以及需要系统复习这门课的考研人士。希望自己的一些经验能够帮助更多的人。

文章目录

向量的坐标表示
利用坐标作向量的线性运算
向量的模、方向角、投影

向量的坐标表示

空间直角坐标系下，任意向量 $r→\overrightarrow{r}$ 可用向径 $OM→\overrightarrow{OM}$ 表示.
以 $i→\overrightarrow{i}$ $j→\overrightarrow{j}$ $k→\overrightarrow{k}$ 分别表示 $x 、 y 、 z$ 轴上的单位向量，设点 $M$ 的坐标为 $M (x, y, z)$ ，则
$OM→\overrightarrow{OM}$ = $r→\overrightarrow{r}$ = $xi→+yj→+zk→x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}+z\overrightarrow{k}$ 称为向量 $r→\overrightarrow{r}$ 的坐标分解式.
$xi→，yj→，zk→x\overrightarrow{i}，y\overrightarrow{j}，z\overrightarrow{k}$ 称为向量 $r→\overrightarrow{r}$ 沿三个坐标轴方向的分向量.

利用坐标作向量的线性运算

设 $a→=(ax,ay,az),b→=(bx,by,bz)\overrightarrow{a}=(a_{x},a_{y},a_{z}),\overrightarrow{b}=(b_{x},b_{y},b_{z})$ , $λ{\lambda}$ 为实数，则
$a→±b→\overrightarrow{a}\pm\overrightarrow{b}$ = $(ax±bx,ay±by,az±bz)(a_{x}\pm b_{x}, a_{y}\pm b_{y},a_{z}\pm b_{z})$
$λa→\lambda\overrightarrow{a}$ = $(λax,λay,λaz)(\lambda a_{x},\lambda a_{y},\lambda a_{z})$
平行向量对应坐标成比例：
当 $a→≠0→\overrightarrow{a}\neq\overrightarrow{0}$ 时，
$a→∥b→\overrightarrow{a}\parallel\overrightarrow{b}$ $⟺\Longleftrightarrow$ $b→\overrightarrow{b}$ = $λa→\lambda\overrightarrow{a}$ （ $λ\lambda$ 为唯一实数）.
$⟺\Longleftrightarrow$ $bxax\frac{{b_{x}}}{a_{x}}$ = $byay\frac{{b_{y}}}{a_{y}}$ = $bzaz\frac{{b_{z}}}{a_{z}}$

向量的模、方向角、投影

向量的模与两点间的距离公式
向量的模
设 $r→=(x,y,z)\overrightarrow{r}=(x,y,z)$ ，作 $OM→\overrightarrow{OM}$ = $r→\overrightarrow{r}$ ，则有 $∣r→∣=∣OM→∣=x2+y2+z2|\overrightarrow{r}|=|\overrightarrow{OM}| =\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$
两点间的距离公式
设 $A(x_{1},y_{1},z_{1})$ , $B(x_{2},y_{2},z_{2})$ ,因为
$AB→\overrightarrow{AB}$ = $OB→\overrightarrow{OB}$ - $OA→\overrightarrow{OA}$ = $x_{2}-x_{1},y_{2}-y_{1},z_{2}-z_{1})$ ，得两点间的距离公式：
${AB}|$ = $∣AB→∣|\overrightarrow{AB}|$ = $(x2−x1)2+(y2−y1)2+（z2−z1)2\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}+（z_{2}-z_{1})^{2}}$
方向角与方向余弦
方向角
设有两非零向量 $a→\overrightarrow{a}$ , $b→\overrightarrow{b}$ ，任取空间一点O, 作 $OA→\overrightarrow{OA}$ = $a→\overrightarrow{a}$ , $OB→\overrightarrow{OB}$ = $b→\overrightarrow{b}$ 称 $φ=∠AOB(0≤φ≤π)\varphi=∠AOB(0 \leq \varphi \leq \pi)$ 为向量 $a→\overrightarrow{a}$ , $b→\overrightarrow{b}$ 的夹角.
类似可定义向量与轴，轴与轴的夹角.
给定 $r→=(x,y,z)≠0→\overrightarrow{r}=(x,y,z)\neq\overrightarrow{0}$ ，称 $r→\overrightarrow{r}$ 与三坐标轴的夹角 $α,β,γ\alpha,\beta,\gamma$ 为其方向角
方向余弦
方向角的余弦称为方向余弦

$cosαcos\alpha$ = $x∣r→∣\frac{x}{|\overrightarrow{r}|}$ = $xx2+y2+z2\frac{x}{ \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2} }}$
$cosβcos\beta$ = $y∣r→∣\frac{y}{|\overrightarrow{r}|}$ = $yx2+y2+z2\frac{y}{ \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2} }}$
$cosγcos\gamma$ = $z∣r→∣\frac{z}{|\overrightarrow{r}|}$ = $zx2+y2+z2\frac{z}{ \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2} }}$

方向余弦的性质
$cos2αcos^{2}\alpha$ + $cos2βcos^{2}\beta$ + $cos2γcos^{2}\gamma$ =1
向量 $r→\overrightarrow{r}$ 的单位向量： $r→°=r→∣r→∣\overrightarrow{r}^{°}=\frac{\overrightarrow{r}}{|\overrightarrow{r}|}$ = $（cosα,cosβ,cosγ）（cos\alpha,cos\beta,cos\gamma）$
向量在轴上的投影
空间一点在轴上的投影
过点 $A$ 作轴 $u$ 的垂直平面，交点 $A^{'}$ 即为点 $A$ 在轴 $u$ 上的投影.
向量在轴上的投影
设有一轴 $u$ ， $e→\overrightarrow{e}$ 是轴 $u$ 上与 $u$ 轴同向的单位向量.
已知向量 $AB→\overrightarrow{AB}$ 的起点 $A$ 和 $B$ 在轴 $u$ 上的投影分别为 $A^{'}$ 和 $B^{'}$ ，则 $A′B′→\overrightarrow{A^{'}B^{'}}$ 称为 $AB→\overrightarrow{AB}$ 在轴 $u$ 上的分向量.
若 $A′B′→=λe→\overrightarrow{A^{'}B^{'}}={\lambda}\overrightarrow{e}$ ，则 $λ{\lambda}$ 称为 $AB→\overrightarrow{AB}$ 在轴 $u$ 上的投影.
向量 $AB→\overrightarrow{AB}$ 在轴 $u$ 上的投影记为 $PrjuAB→Prj_{u}\overrightarrow{AB}$ 或 $(AB→)u(\overrightarrow{AB})_{u}$ .

注：若 $a→=(ax,ay,az)\overrightarrow{a}=(a_{x},a_{y},a_{z})$ ，则
$ax=Prjxa→,ay=Prjya→,az=Prjza→a_{x}=Prj_{x}\overrightarrow{a},a_{y}=Prj_{y}\overrightarrow{a},a_{z}=Prj_{z}\overrightarrow{a}$

向量的投影性质
①投影性质1
向量 $AB→\overrightarrow{AB}$ 在轴 $u$ 上的投影等于向量的模乘以轴与向量的夹角的余弦：
$PrjuAB→Prj_{u}\overrightarrow{AB}$ = $∣AB→∣cosφ|\overrightarrow{AB}|cos\varphi$
②投影性质2
两个向量的和在轴上的投影等于两个向量在该轴上的投影之和.（可推广到任意有限个）
$Prju(a→1+a→2)Prj_{u}(\overrightarrow{a}_{1}+\overrightarrow{a}_{2})$ = $Prjua→1+Prjua→2Prj_{u}\overrightarrow{a}_{1}+Prj_{u}\overrightarrow{a}_{2}$
③投影性质3
$Prju(λa→)Prj_{u}(\lambda\overrightarrow{a})$ = $λPrjua→\lambda Prj_{u}\overrightarrow{a}$