Parallel Courses III 并行课程 III

问题描述：

给你一个整数 n ，表示有 n 节课，课程编号从 1 到 n 。同时给你一个二维整数数组 relations ，其中 $relations[j]=[prevCours{e}_j,nextCours{e}_j]$ ，表示课程 $prevCours{e}_j$ 必须在课程 $nextCours{e}_j$ 之前 完成（先修课的关系）。同时给你一个下标从 0 开始的整数数组 time ，其中 $time[i]$ 表示完成第 $(i+1)$ 门课程需要花费的 月份 数。

请你根据以下规则算出完成所有课程所需要的 最少 月份数：

如果一门课的所有先修课都已经完成，你可以在 任意 时间开始这门课程。
你可以 同时 上 任意门课程 。
请你返回完成所有课程所需要的 最少 月份数。

注意：测试数据保证一定可以完成所有课程（也就是先修课的关系构成一个有向无环图）。

$$\begin{gathered} 1<=n<=5\ast 10^4 \\ 0<=relations.length<=min(n\ast (n-1)/2,5\ast 10^4) \\ relations[j].length==2 \\ 1<=prevCours{e}_j,nextCours{e}_j<=n \\ prevCours{e}_j!=nextCours{e}_j \\ 所有的先修课程对[prevCours{e}_j,nextCours{e}_j]都是互不相同的。 \\ time.length==n \\ 1<=time[i]<=10^4 \\ 先修课程图是一个有向无环图 \end{gathered}$$

分析

该问题的复杂性并不大，是最简单的拓扑问题。

就是必须要有一个固定的顺序来依次的访问，每个课程。问题中也提到不会存在环，而且是一个有向无环图。

同时可以同时学习多门课程，相比较之前的一个问题中，要求一个学期只能选k个课程，条件更加宽松。

所以按照拓扑排序的思路来处理，就是需要构建一个图，图无非就是邻接表或者是邻接矩阵。

但是由于问题的规模限制，邻接表是一个比较合适的选择。

然后进行拓扑排序，同时用$f[i]$ 记录到达课程i时的最晚时间，而目标是完成所有课程的时候，需要的最少时间，所以要用$ans$记录每个课程的最晚结束时间。

时间复杂度 $O(M+N)$

空间复杂度 $O(M+N)$

代码

拓扑

class Solution {public int minimumTime(int n, int[][] relations, int[] time) {int[] indeg = new int[n+1];List<Integer>[] g = new ArrayList[n+1];for(int i=1;i<=n;i++){g[i] = new ArrayList();}for(int[] re: relations){int from = re[0],to = re[1];indeg[to]++;g[from].add(to);} Queue<Integer> queue = new LinkedList();for(int i=1;i<=n;i++){if(indeg[i]>0) continue;queue.offer(i);}int[] f = new int[n+1];int ans =0;while(!queue.isEmpty()){int idx = queue.poll(); int end = f[idx]+ time[idx-1];ans = Math.max(ans,end);for(int nx: g[idx]){f[nx]= Math.max(f[nx],end);indeg[nx]--;if(indeg[nx]==0){queue.offer(nx);}}} return ans;}
}

时间复杂度$O(M+N)$

空间复杂度$O(M+N)$

Tag

Array

Graph

Topological Sort