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news 2026/4/6 13:28:06

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博客主页： [小ᶻ☡꙳ᵃⁱᵍᶜ꙳] 本文专栏: C++

文章目录

💯前言
💯题目描述
- 输入格式
- 输出格式
- 输入输出样例
- - 输入：
  - 输出：
💯解题思路
- 分析题目
- 解题步骤
💯代码实现
- 我的代码实现
- - 实现特点
- 老师的代码实现
- - 实现特点
  - 优点
  - 缺点
💯对比分析
💯优化方案
- - 改进点
💯小结

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💯前言

本篇文章将详细解析洛谷B2069题“求分数列和”的解题过程，包括题目的详细描述、解题思路、不同代码实现方案的比较与优化，以及对相关概念的深入拓展。文章的目标是帮助读者全面掌握此类题目的解法，并提升在C++编程中的逻辑分析与代码优化能力。
C++ 参考手册

💯题目描述

B2069 求分数序列和
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有一个分数序列：

$\frac{q_1}{p_1}, \frac{q_2}{p_2}, \frac{q_3}{p_3}, \frac{q_4}{p_4}, \cdots$

其中，满足递推关系：

$q_{i+1} = q_i + p_i$
$p_{i+1} = q_i$
初始值 $q_1 = 2$ , $p_1 = 1$ 。

例如，前6项依次为：
$\frac{2}{1}, \frac{3}{2}, \frac{5}{3}, \frac{8}{5}, \frac{13}{8}, \frac{21}{13}$

任务是计算分数序列前 $n$ 项的和。结果保留4位小数。

输入格式

输入一行包含一个正整数 $n$ （ $\leq 30$ ）。

输出格式

输出一行浮点数，表示分数序列前 $n$ 项之和，精确到小数点后4位。

输入输出样例

输入：

输出：

3.5000

💯解题思路

分析题目

递推关系：
- 序列的分子和分母满足递推关系：
  $q_{i+1} = q_i + p_i$
  $p_{i+1} = q_i$
- 初始条件为 $q_1 = 2$ , $p_1 = 1$ 。
目标：
- 计算前 $n$ 项的分数和：
  $\text{sum} = \frac{q_1}{p_1} + \frac{q_2}{p_2} + \cdots + \frac{q_n}{p_n}$
数据范围：
- $\leq 30$ ，意味着序列递推和累加的规模较小，可以采用简单的迭代方式解决。
精度要求：
- 输出结果保留小数点后4位。

解题步骤

初始化变量：
- 定义两个变量分别表示分子 $q$ 和分母 $p$ 。
- 定义一个变量 $s u m$ 用于累加结果。
递推计算：
- 根据公式更新 $q$ 和 $p$ 。
- 累加当前项的分数值： $\frac{q}{p}$ 。
输出结果：
- 使用浮点数输出，保留小数点后4位。

💯代码实现

我的代码实现

以下是我的代码实现：

#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;int main() {double sum = 0; // 累加和，双精度浮点数int n = 0, temp = 0;int z = 2, m = 1; // 初始化分子和分母cin >> n;for (int i = 0; i < n; i++) {sum += z * 1.0 / m; // 累加当前项temp = z;           // 暂存当前分子z = z + m;          // 计算新的分子m = temp;           // 更新分母为旧的分子}printf("%.4lf", sum); // 输出结果，保留 4 位小数return 0;
}

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实现特点

变量设计：
- 使用 z 表示当前分子，m 表示当前分母。
- 使用 temp 保存中间变量，避免覆盖数据。
核心递推逻辑：
- $q_{i+1} = q_i + p_i$ 用 z = z + m 实现。
- $p_{i+1} = q_i$ 用 m = temp 实现。
浮点数计算：
- 显式将 z / m 转换为浮点数计算，确保精度。
结果输出：
- 使用 printf 保留4位小数。

老师的代码实现

以下是老师给出的代码实现：

#include <iostream>
#include <cstdio> // 用于 printf
using namespace std;int main() {int n = 0;cin >> n;float sum = 0; // 累加和，浮点类型float q = 2;   // 初始化分子 qfloat p = 1;   // 初始化分母 pfor (int i = 0; i < n; i++) {sum += q / p; // 累加当前项q = q + p;    // 计算新的 qp = q - p;    // 计算新的 p}printf("%.4f\n", sum); // 输出结果，保留 4 位小数return 0;
}

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实现特点

变量优化：
- 直接使用 float 类型计算，避免临时变量。
核心递推逻辑：
- 使用 q = q + p 和 p = q - p 通过数学公式简化更新。
结果输出：
- 同样使用 printf 保留4位小数。

优点

代码简洁：
- 变量数量少，通过数学公式避免了中间变量。
逻辑紧凑：
- 更新 p 的方式非常简练，体现了数学上的优化。

缺点

可读性较差：
- p = q - p 的逻辑不够直观，对初学者不够友好。
精度问题：
- 使用 float 类型可能导致精度不足。

💯对比分析

对比点	我的代码	老师的代码
变量数量	多一个临时变量 `temp`	仅用两个变量 `q` 和 `p`
代码可读性	逻辑清晰，易于理解	数学简化逻辑不直观
浮点精度	使用 `double`，精度更高	使用 `float`，精度稍低
内存使用	稍高，多用了一个变量	更低，只用了必要的变量
实现复杂度	适中，易于实现和调试	较低，但对理解有一定要求

💯优化方案

结合两者的优点，我们可以进一步优化代码：

#include <iostream>
#include <iomanip> // 用于控制输出精度
using namespace std;int main() {int n;cin >> n;double sum = 0.0; // 使用 double 提高精度int q = 2, p = 1; // 分子和分母初始化for (int i = 0; i < n; i++) {sum += static_cast<double>(q) / p; // 显式类型转换q = q + p; // 直接更新分子p = q - p; // 通过差值更新分母}cout << fixed << setprecision(4) << sum << endl; // 使用现代化流输出return 0;
}