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5. 前缀和的复杂应用

5.1. 123（4 星）

5.1.1. 题目解析

1. 这道题仍然是求一段区间的和，很容易能够想到前缀和
2. 找规律：

1------------------1 号块

1 2----------------2 号块

1 2 3--------------3 号块

1 2 3 4------------4 号块

1. 可以将其看做是若干个块，每个块内都是公差为 1 的等差数列
2. 我们只需要判断这个区间是第几号块，然后算出来当前的前缀和，使用之前的公式 s[r]-s[l-1]得到这段区间的和

来两道例子：

比如要求下标为 5 之前的前缀和。

我们可以根据规律求出这一块之前的前缀和，然后再根据它位于本块的第几位，求出应该在块区间和中的第几位，修正这个之前的前缀和。

详细过程：

1. 1. 要求的下标为 5，算出其在 4 下标开始的块中，因为 5 >= 4。（就是 a[3]=4）
   2. 这块之前的前缀和为 4，需要在 4 的基础上修正。（s[3-1]=4）
   3. 求出原数组中下标为 5 的数字，距离本块开头是 3 位，所以应该加上 1~3 的和 6。（6-a[3]+1=3，b[3] = 6）
   4. 4+6=10

比如要求下标为 8 的前缀和。

1. 1. 求出这个在以 7 开头的块中，因为 8 >= 7。（a[4]=7）
   2. 这块之前的前缀和是 10，需要在 10 的基础上进行修正。（s[4-1]=10）
   3. 因为下标为 8，距离本块开头的距离为 2，所以需要加上 1~2 的和 3。（8-a[4]+1=2，b[2] = 3）
   4. 10+3=13

5.1.2. 代码

package lanqiao;import java.util.Scanner;public class _23_123 {static Scanner in = new Scanner(System.in);static int N = (int) (1e6 + 1e6 + 1e6);static long[] a = new long[N];// 区间开头的下标static long[] b = new long[N];// 每个区间的和static long[] s = new long[N];// 所有的前缀和public static void main(String[] args) {long t = in.nextLong();// 构建区间，前缀和a[0] = 1;for (int i = 1; i < N; i++) {a[i] = a[i - 1] + i;b[i] = b[i - 1] + i;s[i] = s[i - 1] + b[i];}// 查找l和r应该在哪个区间for (int i = 0; i < t; i++) {long l = in.nextLong(), r = in.nextLong();// 找>=xsolve(l, r);}}private static void solve(long x, long y) {int l = 0, r = N - 1;// 找到l在哪个区间l = getL(x, l, r);// 开始坐标是a[l-1]，上一个区间结束的前缀和是s[l-1]，本区间的和是b[l-1]long gap = x - a[l];
//        System.out.print("l: " + l + " ");
//        System.out.print( (s[l] + x-a[l]));long q = s[l] + b[(int) gap];// 找到r在哪个区间l = 0;r = N - 1;l = getL(y, l, r);gap = y - a[l] + 1;
//        System.out.println();
//        System.out.print("l: " + l);
//        System.out.println(" " + (s[l] + y-a[l]));long w = s[l] + b[(int) gap];System.out.println(w - q);
//        System.out.println("------_");}private static int getL(long x, int l, int r) {while (l < r) {int mid = (l + r + 1) >> 1;if (a[mid] > x) {r = mid - 1;} else {l = mid;}}return l;}
}