1 扩散模型原理记录

参考资料：

[1]【54、Probabilistic Diffusion Model概率扩散模型理论与完整PyTorch代码详细解读】 https://www.bilibili.com/video/BV1b541197HX/?share_source=copy_web&vd_source=7771b17ae75bc5131361e81a50a0c871

[2] https://t.bilibili.com/700526762586538024?spm_id_from=333.999.0.0

以下内容为对上述资料的补充理解，理解不对的地方，请多指教。

以下序号与资料中的章节序号一致。

七、目标数据分布的似然函数

扩散模型本质为生成模型，所以最本质的目标是最大化对数据分布真值的预测概率。

这里可以假设成一个分类问题，不同的类别表示不同的数据分布，其中包括与数据分布真值相近的和不相近的。模型会预测不同数据分布的概率。我们的目标是，使网络对数据分布真值对应的类别的预测概率最高。

用公式表示：$max{p}_{\theta }(x_0)$，其中，$p_{\theta }(x_0)$为模型对数据分布真值预测的概率分布（注意模型不只是网络，在扩散模型里，网络是模型的一部分，模型还包括对网络输出结果的后处理，因此网络输出值可能多种多样）。

但是$p_{\theta }(x_0)$范围是$0-1$，直接最大化不好计算，因此一般转化为最小化对数似然函数：$-log{p}_{\theta }(x_0)$。直接最小化$-log{p}_{\theta }(x_0)$也不好求，所以扩散模型转而最小化$-log{p}_{\theta }(x_0)$的上界，这个上界就是$L_{VLB}$（需要乘$q(x_0)$）。

下面的目标就是最小化$L_{VLB}$。

$L_{VLB}$最终转化为$L_{VLB}=E_q[L_T+L_{t-1}]$（$L_0$与$L_{t-1}$合并到一起了），其中，$L_T$和$L_{t-1}$都是两个高斯分布的KL散度，结果只与两个高斯分布的均值和方差有关。$L_T$中两个分布的均值和方差都是已知(在$x_0$分布已知的情况下已知)且不可优化的，因此直接去除。下面计算$L_{t-1}$，如下式（方差是设定的固定值，所以省略了）：

其中，$\tilde{\mu }(x_t,x_0)$是$q(x_{t-1}|x_t,x_0)$高斯分布的均值，${\mu }_{\theta }(x_t,t)$是$p_{\theta }(x_{t-1}|x_t)$高斯分布的均值。

$p_{\theta }(x_{t-1}|x_t)$是模型的预测分布，也可以写成$p_{\theta }(x_{t-1}|x_t,t)$。

对上式展开，其中$q(x_{t-1}|x_t,x_0)$的均值$\tilde{\mu }(x_t,x_0)$已经在前面计算出来了，直接代入：

上式中$ϵ$与上文的$z$一样，都是加的噪声。下面的问题是，我们要最小化$L_{t-1}-C$，网络在模型中扮演什么角色？可选择的是：

• 预测${\mu }_{\theta }(x_t,t)$，使其逼近$\tilde{\mu }(x_t,x_0)$，即损失是他俩的差；
• 预测$x_0^{\prime }$，使其直接逼近$x_0$，损失是他俩的差；
• 预测$ϵ$，这样对应的$x_0^{\prime }$就可以一步步地推出来（只是可以这么干，但是这样的话就与上个选择一样了，直接一步到位其实效果不好），这样$p_{\theta }(x_{t-1}|x_t,t)$分布的均值${\mu }_{\theta }(x_t,t)$就与$q(x_{t-1}|x_t,x_0^{\prime })$的均值公式一样，即下式。这样就可以逼近$\tilde{\mu }(x_t,x_0)$，即损失是他俩的差（可以简化计算）；

扩散模型的作者选择用网络来预测$ϵ$，这样，${\mu }_{\theta }(x_t,t)$的计算公式如下：

再简化$L_{t-1}-C$，如下：

到这里，网络的损失就确定了，即最小化预测的噪声与实际添加的噪声的差，网络输入是时刻t和时刻t对应的xt。

有了网络输出的噪声后，就可以通过$p_{\theta }(x_{t-1}|x_t,t)$分布的均值${\mu }_{\theta }(x_t,t)$和方差（方差是预定义的$\beta$）来采样出$x_{t-1}$，训练过程和反扩散过程的伪代码如下：

反扩散过程用到了重参数化采样，上图中的${\sigma }_t$就是标准差$\sqrt{{\beta }_t}$。