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幂级数和幂级数的和函数有什么关系？

本文例子引用自：80_1幂级数运算，逐项积分、求导【小元老师】高等数学，考研数学

求幂级数 $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n}{x}^n$ 的和函数
（1）求收敛半径，由于是不缺项级数所以可以使用$\underset{n\to \infty }{\lim }|\frac{a_{n+1}}{a_n}|=\rho$，若是缺项级数则只能使用$\underset{n\to \infty }{\lim }|\frac{u_{n+1}(x)}{u_n(x)}|=\rho |\varphi (x)|<1$，当然不缺项级数也可使用后者。
$$\rho =\underset{n\to \infty }{\lim }|\frac{a_{n+1}}{a_n}|=\underset{n\to \infty }{\lim }|\frac{\frac{1}{n+1}}{\frac{1}{n}}|=1$$
（2）判断端点处的敛散性
当 $x=-1$ 时，$\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^n\frac{1}{n}$，$u_n=\frac{1}{n}\to 0$ 且 $u_n=\frac{1}{n}$递减，级数收敛（利用交错级数的莱布尼茨定理判别）
当 $x=1$ 时，$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n}$，$p=1$，级数发散（利用p级数判别）
（3）综上，该级数收敛域 $[-1,1)$
（4）求收敛域中幂级数的和函数（在收敛域中幂级数等于其和函数，超过收敛域二者不等）
$$s(x)=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n}{x}^n=x+\frac{1}{2}{x}^2+\frac{1}{3}{x}^3+\cdots +\frac{1}{n}{x}^n+\cdots$$
逐项求导
$$s^{\prime }(x)=(\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n}{x}^n{)}^{\prime }=1+x+x^2+\cdots +\frac{1}{n}{x}^{n-1}+\cdots =\frac{1}{1-x}$$
左右两端同时积分（右侧逐项积分）
$$s(x)=s(0)+{\int }_0^x{s}^{\prime }(t)dt=0+{\int }_0^x\frac{1}{1-t}dt=-\ln (1-x)$$
上式为什么还有$s(0)$?
$$\begin{gathered} {\int }_0^x{s}^{\prime }(t)dt=s(x){|}_0^x=s(x)-s(0) \\ s(x)=s(0)+{\int }_0^x{s}^{\prime }(t)dt \end{gathered}$$
最终收敛域上幂级数的和函数为：
$$s(x)=-\ln (1-x)，x\in [-1,1)$$
我们为什么要兜圈子先对级数求导（或积分）然后再进行积分（或求导）呢？
主要想利用等比级数，因为其和函数容易求得，而逐项求导和积分的目的是将所给幂级数变换为等比级数，随后利用等比级数求出所给幂级数的和函数

我们在图像中看看到底幂级数和幂级数的和函数有什么关系？
下图中幂级数的图像为绿色曲线，其实不是真正的图像，因为$n$为无穷大，笔者这里$n$只取到了9，仅做示意。下图中红色曲线为幂级数和函数的图像，我们可以发现在收敛域中幂级数等于其和函数，超过收敛域二者是不等的