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K均值聚类

• 步骤：
  Step1：随机选取样本作为初始均值向量。
  Step2：计算样本点到各均值向量的距离，距离哪个最近就属于哪个簇
  Step3：重新计算中心点作为均值向量，重复第二步直到收敛
• 常见距离
  • 曼哈顿距离（街区距离）
  • 欧氏距离
  • 切比雪夫距离（棋盘距离）
  • 闵氏距离（结合前三种）
  • 余弦相似度
    • 适用场景：塔吊和文本分析
  • 汉明距离
    • 适用场景：计算机网络中二进制纠错
• 没有哪个距离最好，只有哪个距离最合适，这就是理解这么多距离的原因

密度聚类（DBSCAN）

1. 概念：

• 给定数据集D=｛x1，x2，…，xm｝
• 邻域ε：对x∈D，其ε邻域包含样本集D中与x的距离不大于ε的样本
• 核心对象：若x的ε邻域至少包含MinPts个样本，即|N(x)|≥MinPts，则x是一个核心对象。
  N ( x ) = { x ′ ∈ D ∣ dist ( x , x ′ ) ≤ ε } N(x) = \{x' \in D \mid \text{dist}(x, x') \leq \varepsilon\} N(x)={x′∈D∣dist(x,x′)≤ε}

2. 密度直达、密度可达、密度相连

层次聚类

应用：生物领域

AGNES 算法

• 思想类似归并排序，自底向上
  Step1：先将每个样本当成一个簇
  Step2：然后将距离最近的两个簇进行合并
  Step3：重复Step2
  直到，最远的两个簇的距离超过阈值或簇的个数达到指定值
• 距离：最大距离、最小距离、平均距离

DIANA算法

• 思想类似快速排序，自顶向下
  Step1：初始化，所有样本集中归为一个簇
  Step2：在同一个簇中，计算任意两个样本之间的距离，找到距离最远的两个样本点a，b，
  将a，b作为两个簇的中心：
  Step3：计算原来簇中剩余样本点距离a，b的距离，距离哪个中心近，分配到哪个簇中
  Step4：重复步骤2、3
  直到，最远两簇距离不足阈值，或者簇的个数达到指定值，终止算法

高斯混合模型聚类

• 应用：将混合的连个数据集分开
• 一维高斯函数，多元独立高斯函数
• 正态分布就是高斯函数
  $$f(x)=\frac{1}{(2\pi {)}^{d/2}\cdot |\Sigma {|}^{1/2}}\cdot \exp \left(-\frac{1}{2}(x-\mu {)}^T{\Sigma }^{-1}(x-\mu )\right)$$
• 高斯混合模型：
  $$f(x)=\sum _{i=1}^K{w}_i\cdot \frac{1}{(2\pi {)}^{d/2}\cdot |{\Sigma }_i{|}^{1/2}}\cdot \exp \left(-\frac{1}{2}(x-{\mu }_i{)}^T{\Sigma }_i^{-1}(x-{\mu }_i)\right)$$
  Step1：将参数随机初始化
  Step2：计算x_j由各混合成分生成的后验概率，即观测数据x_j由第i个分模型生成的概率p(z_j=i|x_j)并记为γ_ji
  $$\text{Responsibility}(x_i,\theta )=\frac{{\pi }_k\cdot \mathcal{N}(x_i|{\mu }_k,{\Sigma }_k)}{{\sum }_{j=1}^K{\pi }_j\cdot \mathcal{N}(x_i|{\mu }_j,{\Sigma }_j)}$$
  Step3：利用γ_ji计算新均值
  Step4：利用γ_ji计算新标准差
  Step5：利用γ_ji计算新权值
  Step6：重复Step2-5直到收敛
• 最大似然函数思想

聚类效果的衡量指标

• 目的：评估聚类结果是否好坏，确立优化目标
• 结论：簇内彼此相似，簇间彼此不同
• 指标（是否用到样本均值）：
  • 外部指标：JC指数、FMI指数、RI指数
  • 内部指标：DB指数，Dunn指数

小结

• 没有最优的算法，只有最合适的算法。

参考书：周志华-机器学习-西瓜书