今天在学习的时候遇到一个很有趣的思想叫作浓缩概率，可以帮我们快速解决一下概率悖论问题！

什么是概率

计算概率有下面两个最简单的原则：

原则一、计算概率一定要有一个参照系，称作「样本空间」，即随机事件可能出现的所有结果。事件 A 发生的概率 = A 包含的样本点 / 样本空间的样本总数。

原则二、计算概率一定要明白，概率是一个连续的整体，不可以把连续的概率分割开，也就是所谓的条件概率。

三门问题

问题1：

游戏参与者面对三扇门，其中两扇门后面是山羊，一扇门后面是跑车
你是游戏参与者，现在有门 1,2,3，假设你随机选择了门 1，然后主持人打开了门 3 告诉你那后面是山羊。现在，你是坚持你最初的选择门 1，还是选择换成门 2 呢？

答案1：
是应该换门，换门之后抽到跑车的概率是 2/3，不换的话是 1/3

解释1 ：
主持人开门实际上在「浓缩」概率。一开始你选择到跑车的概率当然是 1/3，剩下两个门中包含跑车的概率当然是 2/3，这没啥可说的。但是主持人帮你排除了一个含有山羊的门，相当于把那 2/3 的概率浓缩到了剩下的这一扇门上。那么，你说你是抱着原来那扇 1/3 的门，还是换成那扇经过「浓缩」的 2/3 概率的门呢？

选择题

如果你看懂了上题的思想，那么
问题2：
你蒙选择题，先蒙了 A，后来灵机一动排除了 B 和 C，请问你是否要把 A 换成 D？
答案2：
换！
解释2：
当你蒙A的概率是1/4，那么答案在另外三个的概率是3/4，但是你巧妙的排除了B和C，那么3/4的概率就落在了D上了，你应该选D还是选A，答案就很清楚了。
问题3：
也许读者会问，如果只排除了一个答案，比如说 B，那么我是否应该把 A 换成 C 或者 D 呢？答案是，换！
答案3：
因为按照刚才「浓缩」概率这个思想，只要进行了排除，都是在进行「浓缩」，均摊下来肯定比你一开始蒙的那个答案概率 1/4 高。比如刚才的例子，C 和 D 的正确概率都是 3/8（3/4 * 1/2），而你开始蒙的 A 只有 1/4。
使用前提：
运用此策略蒙题的前提是你真的抓瞎，真的随机乱选答案，这样概率才能作为最后的杀手锏。

其他反直觉的概率问题

男孩女孩问题

假设有一个家庭，有两个孩子，现在告诉你其中有一个男孩，请问另一个也是男孩的概率是多少？

有两个孩子，那么样本空间为 4，即哥哥妹妹，哥哥弟弟，姐姐妹妹，姐姐弟弟这四种情况。已知有一个男孩，那么排除姐姐妹妹这种情况，所以样本空间变成 3。另一个孩子也是男孩只有哥哥弟弟这 1 种情况，所以概率为 1/3

生日悖论

屋子里需要有多少人，才能使得存在至少两个人生日是同一天的概率达到 50%？

答案是 23 个人，也就是说房子里如果有 23 个人，那么就有 50% 的概率会存在两个人生日相同。

只有 1 个人的时候，生日唯一的概率是 365/365，2 个人时，生日唯一的概率是 365/365 × 364/365，以此类推可知 23 人的生日都唯一的概率

摸球问题

一号箱子有 4 个黑球 2 个红球，二号箱子有 2 个黑球 4 个红球，随便选一个箱子，随便摸一个球，问你摸出红球的概率。

对于不知情的小明，他会随机选择一个箱子，随机摸球，摸到红球的概率是：1/2 × 2/6 + 1/2 × 4/6 = 1/2

对于知情的你，你知道在二号箱子摸球概率大，所以只在二号箱摸，摸到红球的概率是：0 × 2/6 + 1 × 4/6 = 2/3