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8. 设 ${\epsilon }_1,{\epsilon }_2,{\epsilon }_3$ 是复数域上线性空间 $V$ 的一组基，线性变换 $\sigma$ 在 ${\epsilon }_1,{\epsilon }_2,{\epsilon }_3$ 下的矩阵为

   $$J=\left(\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 1& 2& 0\\ 0& 0& -1\end{array}\right).$$

   1. 写出 $J$ 的初等因子组和不变因子组；

   2. 已知 $\xi =c_1{\epsilon }_1+c_2{\epsilon }_2$，求 $\sigma (\xi )$ 在 ${\epsilon }_1,{\epsilon }_2,{\epsilon }_3$ 下的坐标；

   3. 证明 $L({\epsilon }_1,{\epsilon }_2)$ 是 $\sigma$ 的不变子空间，且 $V=L({\epsilon }_1,{\epsilon }_2)\oplus L({\epsilon }_3)$。

解答 1

$J$ 为若尔当形矩阵

$J$ 的初等因子为($\lambda -2{)}^2$ ，$\lambda +1$ 。不变因子为 $d_1=1$，$d_2=1$，$d_3=(\lambda -2{)}^2(\lambda +1)$

解答 2
$$\xi =\left[\begin{array}{ccc}{\epsilon }_1& {\epsilon }_2& {\epsilon }_3\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{c}_1\\ c_2\\ 0\end{array}\right]$$

$$\begin{array}{rl}\sigma \left(\xi \right)& =\left[\begin{array}{ccc}{\epsilon }_1& {\epsilon }_2& {\epsilon }_3\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 1& 2& 0\\ 0& 0& -1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{c}_1\\ c_2\\ 0\end{array}\right]\\ & =\left[\begin{array}{ccc}{\epsilon }_1& {\epsilon }_2& {\epsilon }_3\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}2c_1\\ c_1+2c_2\\ 0\end{array}\right].\end{array}$$

$\sigma (\xi )$ 在 ${\epsilon }_1,{\epsilon }_2,{\epsilon }_3$ 下的坐标为 $[2c_1,c_1+2c_2,0{]}^T$

解答 3

$\forall \alpha \in L({\epsilon }_1,{\epsilon }_2)$，即 $\alpha =k_1{\epsilon }_1+k_2{\epsilon }_2$，

$$\begin{array}{rl}\sigma \left(\alpha \right)& =\sigma \left(k_1{\epsilon }_1+k_2{\epsilon }_2\right)\\ & =2k_1{\epsilon }_1+\left(k_1+2k_2\right){\epsilon }_2\end{array}$$
故 $\sigma \left(\alpha \right)\in L({\epsilon }_1,{\epsilon }_2)$，即 $L({\epsilon }_1,{\epsilon }_2)$ 是 $\sigma$ 的不变子空间

${\epsilon }_1,{\epsilon }_2,{\epsilon }_3$ 是 $V$ 的一组基，则有 $V=L({\epsilon }_1,$