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一、机器学习中 L1 和 L2 正则化的原理

见【搜广推校招面经二十五】
L1 正则化将某些特征权重置0实现模型简化，而 L2 正则化主要通过平滑权重来实现模型简化。

1.1. 正则化的原理

正则化的核心思想是在损失函数中加入一个惩罚项（Regularization Term），通过对模型参数施加约束，避免模型过于复杂，从而减少过拟合的风险。
假设原始损失函数为 $L(\theta )$，其中 $\theta$ 是模型参数。引入正则化后，损失函数变为：
$$L_{\text{regularized}}(\theta )=L(\theta )+\lambda R(\theta )$$

• $L(\theta )$：原始损失函数（如均方误差或交叉熵）。
• $R(\theta )$：正则化项，用于惩罚模型参数。
• $\lambda$：正则化系数，控制正则化强度。

通过最小化 $L_{\text{regularized}}(\theta )$，可以找到既拟合数据又满足正则化约束的模型参数。

2.2. L1 和 L2 正则化的定义

（1）L1 正则化

L1 正则化使用参数绝对值之和作为正则化项：
$$R(\theta )=\Vert \theta {\Vert }_1=\sum _{i=1}^n|{\theta }_i|$$

（2）L2 正则化

L2 正则化使用参数平方和的平方根作为正则化项：
$$R(\theta )=\Vert \theta {\Vert }_2^2=\sum _{i=1}^n{\theta }_i^2$$

2.3. L1 和 L2 正则化的几何解释

（1）无正则化的情况

在没有正则化的情况下，优化目标是最小化损失函数 $L(\theta )$。假设 $L(\theta )$ 的等高线是一个椭圆形状，则最优解位于椭圆的最低点。

（2）加入正则化后的优化目标

加入正则化后，优化目标变为：
$$\underset{\theta }{\min }L(\theta )+\lambda R(\theta )$$
此时，正则化项 $R(\theta )$ 对参数空间施加了一个约束。我们可以将优化问题视为在参数空间中寻找满足约束条件的最优解。

• L1 正则化：$R(\theta )=\Vert \theta {\Vert }_1$ 定义了一个菱形约束区域（在二维情况下）。
• L2 正则化：$R(\theta )=\Vert \theta {\Vert }_2^2$ 定义了一个圆形约束区域（在二维情况下）。

当损失函数的等高线与正则化约束区域相交时，得到的解即为最终参数。

2.4. L1 正则化为何能让模型变得稀疏？

L1 正则化倾向于使模型参数中的某些值变为零，从而使模型变得稀疏。其原因可以从以下几个方面解释：

（1）几何解释

• 在 L1 正则化中，参数空间的约束区域是一个菱形。
• 损失函数的等高线与菱形的边界相交时，由于菱形的顶点在坐标轴上，交点往往落在坐标轴上（即某些参数为零）。
• 在顶点处，部分坐标值为零（例如 $(w_1,0)$ 或 $((0,w_2)$）。因此，L1 正则化倾向于将部分参数压缩到零，形成稀疏解。

（2）数学解释

• L1 正则化的目标是最小化 $L(\theta )+\lambda \Vert \theta {\Vert }_1$。由于 $\Vert \theta {\Vert }_1$ 是绝对值的和，优化过程会优先减少较小的参数值，甚至将其直接压缩为零。

2.5. L2 正则化为何不能让模型变得稀疏？

L2 正则化不会使模型参数变为零，而是通过缩小参数值的绝对值来平滑模型。其原因如下：

（1）几何解释

• 在 L2 正则化中，参数空间的约束区域是一个圆形。
• 损失函数的等高线与圆形的边界相交时，交点通常不在坐标轴上（即所有参数都不为零）。
• 因此，L2 正则化不会导致稀疏解，而是均匀地缩小所有参数。

（2）数学解释

• L2 正则化的目标是最小化 $L(\theta )+\lambda \Vert \theta {\Vert }_2^2$。由于 $\Vert \theta {\Vert }_2^2$ 是参数平方的和，优化过程会均匀地缩小所有参数值，而不是将某些参数压缩为零。

二、Sigmoid函数什么情况下会导致梯度消失，如何处理梯度消失

见【搜广推校招面经十八、搜广推校招面经七】

三、46. 全排列（hot100_回溯_中等）

class Solution:def permute(self, nums: List[int]) -> List[List[int]]:def dfs(x):if x == len(nums) - 1:res.append(list(nums))               # 添加排列方案returnfor i in range(x, len(nums)):nums[i], nums[x] = nums[x], nums[i]  # 交换，将 nums[i] 固定在第 x 位dfs(x + 1)                           # 开启固定第 x + 1 位元素nums[i], nums[x] = nums[x], nums[i]  # 恢复交换res = []dfs(0)return res