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逻辑斯谛回归

写在前面：逻辑斯谛回归最初是数学家 Verhulst 用来研究人口增长是所发现的，是一个非常有趣的发现过程， b 站有更详细的背景及过程推导，在此不再赘述：https://www.bilibili.com/video/BV1No4y1o7ac/?p=59

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逻辑斯谛分布的标准形式：
$$F(x)=\frac{1}{1+e^{-x}}$$

$$f(x)=\frac{e^{-x}}{(1+e^{-x}{)}^2}$$

• 分布函数是一条 $S$ 形曲线，该曲线也被称为 sigmoid 曲线，关于点 $(0,\frac{1}{2})$ 中心对称。
• 概率密度函数一条钟型曲线，中间高两端低，关于 $x=0$ 对称，在此处取得最大值 （人口增速最大时刻）。

逻辑斯谛回归的一般形式：

设 $\mathrm{X}$ 是连续随机变量， $\mathrm{X}$ 服从逻辑斯谛分布是指 $\mathrm{X}$ 具有下列分布函数和概率密度：
$$F(x)=P(X⩽x)=\frac{1}{1+{\mathrm{e}}^{-(x-\mu )/\gamma }}$$

$$f(x)=F^{\prime }(x)=\frac{{\mathrm{e}}^{-(x-\mu )/\gamma }}{\gamma (1+{\mathrm{e}}^{-(x-\mu )/\gamma }{)}^2}$$

式中， $\mu$ 为位置参数， $\gamma >0$ 为形式参数。

• 分布函数是一条 $S$ 形曲线，该曲线也被称为 sigmoid 曲线，关于点 $(\mu ,\frac{1}{2})$ 中心对称。
• 概率密度函数一条钟型曲线，中间高两端低，关于 $x=\mu$ 对称，在此处取得最大值 $\frac{1}{4\gamma }$ （人口增速最大时刻）。

二项逻辑斯谛回归模型

$$P(Y=1\mid x)=\frac{\exp (w\cdot x+b)}{1+\exp (w\cdot x+b)}$$

$$P(Y=0\mid x)=\frac{1}{1+\exp (w\cdot x+b)}$$

其中，$x\in {\mathbf{R}}^{\mathbf{n}}$ 是输入，$Y\in 0,1$ 是输出，$w\in {\mathbf{R}}^{\mathbf{n}}$ 和 $b\in {\mathbf{R}}^{\mathbf{n}}$ 是参数，$w$ 称为权值向量，$b$ 称为偏置，$w\cdot x$ 为 $x$ 和 $x$ 的内积。

为了方便，将权重向量和输入向量加以扩充，仍记为 $w$ 和 $x$ ，则有：
$$\omega ={\left({\omega }^{(1)},{\omega }^{(2)},\cdots ,{\omega }^{(n)},b\right)}^T,x={\left(x^{(1)},x^{(2)},\cdots ,x^{(n)},1\right)}^T,$$
逻辑分布函数重写为：
$$P(Y=1\mid x)=\frac{e^{w\cdot x}}{1+e^{w\cdot x}}$$

$$P(Y=0\mid x)=\frac{1}{1+e^{w\cdot x}}$$

极大似然估计

二项分布：
$$P(Y)=\{\begin{array}{ll}1-p,& Y=0\\ p,& Y=1\end{array}=(1-p{)}^{1-Y}{p}^Y$$
对于 $(x_i,y_i)$ ，有：
$$P(Y=y_i|x_i)=(1-p_i{)}^{1-y_i}{p}_i^{y_i}$$
其中：
$$\begin{array}{r}{p}_i=\frac{e^{w\cdot x_i}}{1+e^{w\cdot x_i}}\\ 1-p_i=\frac{1}{1+e^{w\cdot x_i}}\end{array}$$
对于数据集 $T=(X_1,y_1),(x_2,y_2),\cdots ,(x_N,y_N)$ 出现的概率：
$$\prod _{i=1}^N(1-p_i{)}^{1-y_i}{p}_i^{y_i}$$
该概率只与 $w$ 有关，即可得关于 $w$ 的似然函数：
$$L(w)=\prod _{i=1}^N(1-p_i{)}^{1-y_i}{p}_i^{y_i}$$
对数似然函数：
$$\begin{array}{rl}\log \prod _{i=1}^N{p}_i^{y_i}(1-p_i{)}^{1-y_i}& =\sum _{i=1}^N[y_i\log p_i+(1-y_i)\log (1-p_i)]\\ & =\sum _{i=1}^N[y_i\log \frac{p_i}{1-p_i}+\log (1-p_i)]\end{array}$$
代入（12）（13）式：
$$L(w)=\sum _{i=1}^N[y_{i}w\cdot x_i-\log (1+e^{w\cdot x_i})]$$
这样，问题就变成了以对数似然函数为目标函数的最优化问题，可以应用极大似然估计法估计模型参数，从而得到逻辑斯谛回归模型。逻辑斯谛回归学习中通常采用的方法是梯度下降法及拟牛顿法。

多项逻辑斯谛回归模型

二项逻辑斯谛回归模型可将其推广到多项逻辑斯谛回归模型（multi-nominal logistic regression model），用于多类分类。假设离散型随机变量 $Y$ 的取值集合是 $1,2,\cdots ,K$ ，那么多项逻辑斯谛回归模型是：
$$\begin{array}{rl}P(Y& =k\mid x)=\frac{\exp \left(w_k\cdot x\right)}{1+{\sum }_{k=1}^{K-1}\exp \left(w_k\cdot x\right)},k=1,2,\cdots ,K-1\\ P(Y& =K\mid x)=\frac{1}{1+{\sum }_{k=1}^{K-1}\exp \left(w_k\cdot x\right)}\end{array}$$
这里，$x\in {\mathbf{R}}^{\mathbf{n}+1}$ ，$w_k\in {\mathbf{R}}^{\mathbf{n}+1}$ 。

总结归纳

• 逻辑斯谛回归归根结底是将分类问题用回归模型来解决。
• 正态分布是在给定均值和方差的情况下具有最大熵的分布，这样的假设可以使得数据携带的信息量最大。通常在没有任何假设的情况下，连续型数据常被假设为正态分布，离散型数据常被假设为等概率分布。
• $P(Y=1\mid x)+P(Y=0\mid x)=1$ 。
• 逻辑斯谛回归学习中通常采用的方法是梯度下降法及拟牛顿法。
• 逻辑回归模型不局限于输入变量和输出变量之间是否存在线性关系，可以通过 sigmoid 函数代替非连续型函数，当 sigmoid 函数大于等于 0.5时即可判断类别。
• 逻辑回归的输入变量可以是连续变量，也可以是离散变量。
• 参数估计：说的是已知某个随机样本满足某种概率分布，但是其中具体的参数不清楚，参数估计就是通过若干次试验，观察其结果，利用结果推出参数的大概值。
• 极大似然估计：极大似然估计就是建立在参数估计的思想上，已知某个参数能使这个样本出现的概率最大，我们当然不会再去选择其他小概率的样本，所以干脆就把这个参数作为估计的真实值。
• sigmoid 激活函数在深度学习中应用广泛，逻辑斯谛回归更是在分类问题中被大量使用。