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裴礼文《数学分析中的典型问题与方法》练习2.4.11参考解答

练习2.4.11：设在任何有界闭区间上可积，且满足函数方程

证明：, 为常数。

证明：

• 结论1：设在区间上可积，证明至少有一个连续点。

事实上，任意给, 根据可积定理，存在区间的分割

且成立

断言：存在一个小区间使得在上的振幅满足

否则，就有

矛盾。

取, 根据上面讨论，存在的子区间上满足其上的振幅

现在选择

满足

由于在可积， 取, 同理存在的子区间上满足其上的振幅

继续上面过程，得到闭区间列

满足

且在上振幅满足

根据比区间套定理，存在唯一的点, . 现在证明在连续。

任意, 取满足

由于

所以存在满足

因为函数在振幅满足

所以当时，必有

根据连续定义在连续。

• 结论2：设在上可积，则的连续点在上稠密。

任意区间, 由于在上可积，所以在上可积. 根据结论1，在上有连续点。根据稠密概念，则的连续点在上稠密。

• 题目证明：取根据函数方程得到

所以

因此

得到

由于在区间上可积，所以至少有一个连续点. 由于

所以

这就说明在连续。根据(裴礼文练习2.4.4)知道在上连续。根据(裴礼文例题2.4.1)得到

为常数。

【解题完毕】