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一、数列极限的定义及使用

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=A\iff \forall \epsilon >0,\exists N>0,当n>N时,有|x_n-A|<\epsilon .$$
在极限存在的条件下：

1. 极限是常数；
2. 极限具有唯一性；
3. 有界性；
4. 保号性；
5. 收敛的充要条件：所有子列 { x n k } \left \{ x_{n_k} \right \} {xnk​​} 均收敛于 A 。

二、数列极限的存在性与计算

1. 归结原则

若 ${\lim }_{x\to x_0}f(x)=A$，则当 { x n } \left\{x_n\right\} {xn​} 以 $x_0$ 为极限时，有 ${\lim }_{n\to \infty }f(x_n)=A$.

1. 当 $x\to 0$ 时，取 $x_n=\frac{1}{n}$，即若 ${\lim }_{x\to 0}f(x)=A$，则 ${\lim }_{n\to \infty }f(\frac{1}{n})=A$.
2. 当 $x_n\to a$ 时，若 ${\lim }_{x\to a}f(x)=A$，则 ${\lim }_{n\to \infty }f(x_n)=A$.

2. 直接计算

3. 定义法（先斩后奏）

简单来讲就是先用定义法则“猜”出极限是什么，然后假设该数列极限 A 等于这个结果，最后将后一项极限值与 A 做差，运算证明得到的极限结果为 0 。

4. 单调有界准则

简单来讲就是证明该数列满足单调递增（递减），且具有上界（下界）。

5. 夹逼准则

通过计算放缩后的数列极限相等来得到该数列极限。