1 + 1 = 2

首先是皮亚诺的自然数公理

  意大利数学家皮亚诺提出的关于自然数的 $5$ 条公理如下（定义 $S(x)$ 为自然数 $x$ 的后继）：

1. $0$ 是自然数
2. 每一个自然数 $n$ 都有一个自然数后继记为 $S(n)$
3. $0$ 不是任何自然数的后继（这一条定义了自然数的起始
4. 如果两个自然数的后继相等，那么这两个自然数相等（显而易见
5. 如果有一个数学性质在 $0$ 上成立，并且对于任何自然数 $n$ 这条数学性质在 $n$ 和 $S(x)$ 上成立，那么这个性质对于所有自然数成立（这就是数学归纳法

然后是加法的定义

  一下是加法的定义，共两条（我把乘法的定义也写上来了 qwq：

1. $\forall x，x+0=x$
2. $\forall x,y，x+S(y)=S(x+y)$
3. $\forall x，x\cdot 0=0$
4. $\forall x,y，x\cdot S(y)=(x\cdot y)+x$

  上面这些定义都非常显而易见，很显然这些定义满足我们对自然数的认知。

最后是极其简单的证明

  证明过程非常简单：

  首先我们把式子列出来 $1+1$

  然后我们知道 $S(0)=1$ 所以：

$$1+1=1+S(0)$$

  又因为 $\forall x,y，x+S(y)=S(x+y)$，所以：

$$1+1=1+S(0)=S(1+0)$$

  又因为 $\forall x，x+0=x$，所以：

$$1+1=1+S(0)=S(1+0)=S(1)$$

  最后因为 $1$ 的后继是 $2$ 所以：

$$1+1=1+S(0)=S(1+0)=S(1)=2$$

  证毕