动态规划（回文串问题）

1. 回文子串

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1. 状态表示

   f[i][j]表示 i 到 j 的子串当中是否是回文

2. 状态转移方程

   

3. 初始化

   最初所有的内容都是0即可

4. 填表

   因为 i j 需要用 i + 1 来初始化，所以这个时候需要从下往上填表

5. 返回值

   返回整个dp 表里true 的数目就可以

AC代码:

class Solution 
{
public:int countSubstrings(string s) {int n = s.size();vector<vector<bool>> dp(n, vector<bool>(n));int ret = 0;for (int i = n - 1; i >= 0; i--){for (int j = i; j < n; j++){if (s[i] == s[j]){dp[i][j] = i + 1 < j ? dp[i + 1][j - 1] : true;}if (dp[i][j]) ret++;}}return ret;}
};

2. 最长回文子串

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如果需要求一个字符串当中的最长的回文子串，需要将所有的回文子串找到，然后再所有的回文子串里面找打一个最长的就可以了

可以参考上一个题目回文子串

AC代码：

class Solution 
{
public:string longestPalindrome(string s) {// 找到所有的回文子串int n = s.size();vector<vector<bool>> dp(n, vector<bool>(n));int begin = 0, len = 1;for (int i = n - 1; i >= 0; i--){for (int j = i; j < n; j++){if (s[i] == s[j]){dp[i][j] = i + 1 < j ? dp[i + 1][j - 1] : true;}if (dp[i][j] && j - i + 1 > len){begin = i;len = j - i + 1;}}}return s.substr(begin, len);}
};

3. 回文串分割 IV

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分析：如果暴力解题的话，i 和 j 可以把整个字符串分为3份，只需要遍历所有可能分为3份的情况直接判断是否都是回文串不就可以了。但是判断回文串需要花费时间，可以使用上面两道题的方法来判断是不是回文串

AC代码：

class Solution 
{
public:bool checkPartitioning(string s) {int n = s.size();vector<vector<bool>> dp(n, vector<bool>(n));for (int i = n - 1; i >= 0; i--){for (int j = i; j < n; j++){if (s[i] == s[j]) dp[i][j] = i + 1 < j ? dp[i + 1][j - 1] : true;}}for (int i = 1; i < n - 1; i++){for (int j = i; j < n - 1; j++){if (dp[0][i - 1] && dp[i][j] && dp[j + 1][n - 1]) return true;}}return false;}
};

4. 分割回文串 ||

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1. 状态表示

   dp[i]表示0 到 i 之间，可以把所有子串都分割为回文串的最小次数

2. 状态转移方程

   

3. 初始化

   所需初始位最大即可

4. 填表

   从左到右

5. 返回值

AC代码：

class Solution 
{
public:int minCut(string s) {int n = s.size();vector<vector<bool>> isPal(n, vector<bool>(n));for (int i = n - 1; i >= 0; i--){for (int j = i; j < n; j++){if (s[i] == s[j]) isPal[i][j] = i + 1 < j ? isPal[i + 1][j - 1] : true;}}vector<int> dp(n, INT_MAX);for (int i = 0; i < n; i++){if (isPal[0][i]) dp[i] = 0;else {for (int j = 1; j <= i; j++){if (isPal[j][i]) dp[i] = min(dp[i], dp[j - 1] + 1);}}}return dp[n - 1];}
};

5. 最长回文子序列

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1. 状态表示

   之前以某个位置为结尾来分析状态表示，如果dp[i]表示到i位置的最长回文子序列的长度来推导状态转移方程，只有长度是分析不出来状态转移方程。

   dp[i][j]表示i j 这个区间内，最长的回文子序列的长度

2. 状态转移方程

   

3. 初始化

   无需初始化

4. 填表

   因为需要用到 后面的值，所以填表需要从下到上，从左到右

5. 返回值

AC代码：

class Solution 
{
public:int longestPalindromeSubseq(string s) {int n = s.size();vector<vector<int>> dp(n, vector<int>(n));for (int i = n - 1; i >= 0; i--){for (int j = i; j < n; j++){if (s[i] == s[j]){dp[i][j] = i ==j ? 1 : dp[i + 1][j - 1] + 2;}else dp[i][j] = max(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1]);}}return dp[0][n - 1];}
};

6. 让字符串成为回文串的最小插入次数

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1. 状态表示

   dp[i][j]表示：i 到 j 这个区间内，成为回文串的最小插入次数

2. 状态转移方程

   

3. 初始化

4. 填表

   从下往上，从左到右

5. 返回值

AC代码：

class Solution 
{
public:int minInsertions(string s) {int n = s.size();vector<vector<int>> dp(n, vector<int>(n));for (int i = n - 1; i >= 0; i--){for (int j = i; j < n; j++){if (s[i] == s[j]) dp[i][j] = i + 1 < j ? dp[i + 1][j - 1] : 0;else dp[i][j] = min(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1]) + 1;}}return dp[0][n - 1];}
};