基于灰狼算法的极限学习机(ELM)回归预测

摘要：本文利用灰狼算法对极限学习机进行优化，并用于回归预测

1.极限学习机原理概述

典型的单隐含层前馈神经网络结构如图1 所示，由输入层、隐含层和输出层组成，输 入层与隐含层、隐含层与输出层神经元间全连接。其中，输入层有 n 个神经元，对应 n 个输入变量， 隐含层有 l个神经元；输出层有 m 个神经元 ，对应 m 个输出变量 。 为不失一般性，设输 入层与隐含层间的连接权值 w 为:
$$w=\left[\begin{array}{cccc}{w}_{11}& w_{12}& ...& w_{1,n}\\ w_{21}& w_{22}& ...& w_{2n}\\ ...& & & \\ w_{l1}& w_{l2}& ...& w_{ln}\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(1)}$$
其中，$w_n$表示输入层第$i$个神经元与隐含层第$j$个神经元间的连接权值。

设隐含层与输出层间的连接权值 ， 为$\beta$:
$$\beta =\left[\begin{array}{cccc}{\beta }_{11}& {\beta }_{12}& ...& {\beta }_{1m}\\ {\beta }_{21}& {\beta }_{22}& ...& {\beta }_{2m}\\ ...& & & \\ {\beta }_{l1}& {\beta }_{l2}& ...& {\beta }_{lm}\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(2)}$$
其中，自${\beta }_{jk}$表示隐含层第 j 个神经元与输出层第 k个神经元间的连接权值。

设隐含层神经元的阈值值 b 为：
$$b=\left[\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\\ ...\\ b_l\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(3)}$$
设具有 Q 个样本的训练集输入矩阵 X 和输出矩阵 Y 分别为
$$X=\left[\begin{array}{cccc}{x}_{11}& x_{12}& ...& x_{1Q}\\ x_{21}& x_{22}& ...& x_{2Q}\\ ...& & & \\ x_{n1}& x_{n2}& ...& x_{nQ}\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(4)}$$

KaTeX parse error: Undefined control sequence: \matrix at position 11: Y =\left[\̲m̲a̲t̲r̲i̲x̲{y_{11},y_{12},…

设隐含层神经元的激活函数为 g(x)，则由图1 可得， 网络的输出 T 为:
$$T=[t_1,..,t_Q{]}_{m\ast Q},t_j=[t_{1j},...,t_{mj}{]}^T={\left[\begin{array}{c}{\sum }_{i=1}^t{\beta }_{i1}g(w_i{x}_j+b_i)\\ {\sum }_{i=1}^t{\beta }_{i2}g(w_i{x}_j+b_i)\\ ...\\ {\sum }_{i=1}^t{\beta }_{im}g(w_i{x}_j+b_i)\end{array}\right]}_{m\ast 1},(j=1,2,...,Q)\text{\hspace{1em}(6)}$$
式(6)可表示为：
$$H\beta =T’\text{\hspace{1em}(7)}$$
其中， T’为矩阵 T 的转置； H 称为神经网络的隐含层输出矩阵 ， 具体形式如下 ：
$$H(w_1,...,w_i,b_1,...,b_l,x_1,...,x_Q)={\left[\begin{array}{cccc}g(w_1\ast x_1+b_1)& g(w_2\ast x_1+b_2)& ...& g(w_l\ast x_1+b_l)\\ g(w_1\ast x_2+b_1)& g(w_2\ast x_2+b_2)& ...& g(w_l\ast x_2+b_l)\\ ...& & & \\ g(w_1\ast x_Q+b_1)& g(w_2\ast x_Q+b_2)& ...& g(w_l\ast x_Q+b_l)\end{array}\right]}_{Q\ast l}$$

2.ELM学习算法

由前文分析可知，ELM在训练之前可以随机产生 w 和 b ， 只需确定隐含层神经元个数及隐含层和神经元的激活函数（无限可微） ， 即可计算出$\beta$ 。具体地， ELM 的学习算法主要有以下几个步骤：

（1）确定隐含层神经元个数，随机设定输入层与隐含层间的连接权值 w 和隐含层神经元的偏置 b ;

（2） 选择一个无限可微的函数作为隐含层神经元的激活函数，进而计算隐含层输出矩 阵 H ;

（3）计算输出层权值：$\beta =H^{+}{T}^{\prime }$

值得一提的是，相关研究结果表明，在 ELM 中不仅许多非线性激活函数都可以使用（如 S 型函数、正弦函数和复合函数等)，还可以使用不可微函数，甚至可以使用不连续的函数作为激 活函数。

3.回归问题数据处理

采用随机法产生训练集和测试集，其中训练集包含 1 900 个样 本，测试集包含 100 个样本。为了减少变量差异较大对模型性能的影响，在建立模型之前先对数据进行归一化。

4.基于灰狼算法优化的ELM

灰狼算法的具体原理参考博客：https://blog.csdn.net/u011835903/article/details/107716390

由前文可知，ELM的初始权值和阈值都是随机产生。每次产生的初始权值和阈值具有满目性。本文利用灰狼算法对初始权值和阈值进行优化。适应度函数设计为训练集的误差的MSE：
$$fitness=argmin(MS{E}_{pridect})$$

适应度函数选取训练后的MSE误差。MSE误差越小表明预测的数据与原始数据重合度越高。最终优化的输出为最佳初始权值和阈值。然后利用最佳初始权值阈值训练后的网络对测试数据集进行测试。

5.测试结果

灰狼算法相关参数如下：

%训练数据相关尺寸
R = size(Pn_train,1);
S = size(Tn_train,1);
N = 20;%隐含层个数
%% 定义灰狼优化参数
pop=20; %种群数量
Max_iteration=50; %  设定最大迭代次数
dim = N*R + N*S;%维度，即权值与阈值的个数
lb = [-1.*ones(1,N*R),zeros(1,N*S)];%下边界
ub = [ones(1,N*R),ones(1,N*S)];%上边界

将经过灰狼优化后的ELM与基础ELM进行对比。

预测结果如下图

基础ELM MSE误差：0.00014041
GWO-ELM MSE误差：3.9966e-10

从MSE看，灰狼-ELM明显优于基础ELM

6.参考文献

书籍《MATLAB神经网络43个案例分析》

7.Matlab代码