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P12269 [蓝桥杯 2024 国 Python B] 切木棒

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题目描述

给定 $n$ 根木棒，第 $i$ 根木棒的长度为 $L_i$。

每次你可以选择任意一根木棒并将其切成两段，切完后两段的长度都必须为整数。

请问，如果一共切 $m$ 次，在所有的方案中，切完后木棒中最长的一根最短是多少？

输入格式

输入的第一行包含两个整数 $n,m$，用一个空格分隔。

第二行包含 $n$ 个正整数 $L_1,L_2,\dots ,L_n$，依次表示每根木棍的长度。

输出格式

输出一行包含一个整数表示答案。

输入输出样例 #1

输入 #1

3 3
3 4 6

输出 #1

3

说明/提示

评测用例规模与约定

• 对于 $60\%$ 的评测用例，$n\le 5000$；
• 对于所有评测用例，$1\le n\le 3\times 10^5$，$1\le m,L_i\le 10^9$。

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题解（二分答案）

一、抽象建模

我们可以将这个问题抽象为：

给定一组木棒，每根长度为 $L_i$，最多可以进行 $m$ 次切割，每次将一根木棒切成两段。问：能否通过最多 $m$ 次切割，使得所有木棒的长度都 $\le x$？

我们尝试对这个 $x$ 进行 二分查找。

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三、二分答案模型构建

3.1 二分的定义

我们想要的是：

• 所有切割方案中，最终“最长的木段”尽可能短
• 这就是一个最小化最大值的问题，典型的二分答案模型

所以我们设定：

• 搜索区间为 $[1,\max (L_i)-1]$，即所有可能的最大段长度

• 每次假设一个答案 mid，判断是否可以通过 ≤ m 次切割，使得所有木段长度 ≤ mid

3.2 判定函数 f(mid)

我们设计一个函数 f(mid)，表示：

要让所有木棒都被切割为长度 ≤ mid 的段，最少需要多少次切割？

具体做法：

• 对于每根木棒 $l_i$：

  • 如果 $l_i\le mid$：不需要切割

  • 如果 $l_i>mid$：

    • 若 $l_i\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}mid=0$，切成 $l_i/mid$ 段，需要 $l_i/mid-1$ 次切割
    • 否则，切成 $(l_i/mid)+1$ 段，需要 $(l_i/mid)$ 次切割

我们对所有木棒累加所需切割次数，如果不超过 $m$，说明 mid 可行。

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四、二分过程分析

我们使用 标准的左闭右闭二分，代码结构如下：

ll left = 1, right = max_L - 1;
while (left <= right) 
{ll mid = (left + right) / 2;if (f(mid) <= m) {ans = mid;right = mid - 1;} else {left = mid + 1;}
}

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七、完整代码：

#include<iostream>
#include<vector>
#include<algorithm>
using namespace std;
using ll = long long;// 函数 f(mid)：计算当规定最大木棒长度为 mid 时，
// 需要的最少切割次数（每次切割只能将一根木棒分成两段）
int f(ll mid, vector<ll>& nums)
{ll cnt = 0; // 记录总共的切割次数for (auto num : nums){// 如果当前木棒长度 <= mid，不需要切割if (num > mid){// 能整除：刚好切成 num / mid 段，需要 num / mid - 1 次切割if (num % mid == 0){cnt += (num / mid) - 1;}// 不能整除：切成 num / mid + 1 段，需要 num / mid 次切割else{cnt += (num / mid);}}}return cnt; // 返回总切割次数
}int main()
{// 输入：n 表示木棒数量，m 表示最多切割次数ll n, m;cin >> n >> m;vector<ll> nums(n, 0); // 存储每根木棒长度for (ll i = 0; i < n; i++){cin >> nums[i]; // 输入每根木棒长度}// 预处理：对数组排序，便于确定最大木棒长度sort(nums.begin(), nums.end());// 二分的范围：left = 1（最小可能长度），right = 最大木棒长度 - 1// 注意这里 right 设置为 nums[n - 1] - 1，// 因为如果不需要切割，那最大长度就是原始最大值，// 但现在必须切 m ≥ 1 次，最大长度就不会等于原始最大值，所以减 1。ll left = 1, right = nums[n - 1] - 1;ll ans = 0; // 记录满足条件的最小最大长度// 开始二分查找while (left <= right){ll mid = left + (right - left) / 2; // 防止溢出，计算中点// 判断当最大长度限制为 mid 时，是否可以在 m 次以内完成切割if (f(mid, nums) <= m){// 可行，更新答案，并尝试寻找更小的最大长度ans = mid;right = mid - 1;}else{// 不可行，mid 太小，尝试更大的长度left = mid + 1;}}// 输出最终答案，即所有木棒长度不超过该值的最小值cout << ans;return 0;
}

八、总结与技巧回顾

• 本题是典型的 最小化最大值问题，适合使用 二分答案

• 关键在于构造一个合理的判定函数 f(mid)

• 边界细节很重要：

  • $m\ge 1$ 说明必须切割，所以最大长度不能等于原始最大长度

  • right = max - 1 是关键优化点

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