70. 爬楼梯 (进阶)

题目链接 | 理论基础

以完全背包的思路来解题，正如组合总和 Ⅳ 中提到的一样。在本题中，先背包后物品的思路就显得非常合理明显了。

本题中的物品就是可以行走的步数 [1, 2]，重量是 n，可以重复选取步数，求走到第 n 层有多少种走法。这样抽象过后，就和组合总和 Ⅳ 一样是求排列了。

1. dp 的下标含义：dp[j] 是到达第 j 层的方法数
2. dp 递推公式：dp[j] += dp[j - i]
3. dp 数组的初始化：根据递推公式可以得知 dp[0]=1 是必须的，也符合前两层的结果，其他的初始化为 0。
4. dp 遍历顺序：需要得到排列结果，先背包后物品（在爬楼梯的背景下就很合理）
5. 举例推导：省略

class Solution:def climbStairs(self, n: int) -> int:choices = [1, 2]# dp[i] represents the number of ways to reach position idp = [0] * (n+1)dp[0] = 1# dp formulafor j in range(n+1):for i in range(len(choices)):if j >= choices[i]:dp[j] += dp[j-choices[i]]return dp[-1]

本题看上去是个简单的爬楼梯，但实际上是个简单的完全背包，重要的是可以考验对物品和背包的遍历顺序的理解。事实上，以后遇到排列的完全背包问题，以爬楼梯的思路来理解会非常有效！

322. 零钱兑换

题目链接 | 理论基础

本题和 零钱兑换II 非常相似，依然是典型的完全背包问题。区别在于，零钱兑换II 需要组合数，这就规定了滚动数组的遍历顺序；本题只需要最小组合数，而不在乎得到该最小数的方式是组合或是排列。

二维数组

1. dp 数组的下标含义：dp[i][j]，使用硬币 [0, i] 组成金额 j 所使用的最小硬币数

2. dp 递推公式：dp[i][j] = min(dp[i-1][j], dp[i-1][j-coins[i]] + 1)

3. dp 的初始化：本题的大坑！

   • 二维数组的初始化中 ，coins[0]（i=0）和 j=0 的情况是比较容易想到的：
     • 只能使用一个硬币时，只有该硬币面值的整数倍金额 j 会初始化为 j // coins[0]
     • 当金额为 0 的时候，不管有多少硬币可以使用，都只需要 0 个硬币即可达成金额 0
   • 那些不需要特殊初始化的位置才是需要小心的！
     • 由于题目要求“无法构成金额的情况返回 -1”，自然想到应该优先把所有值初始化为 -1。这么做就会有下面第一种复杂的解法，要考虑 min() 中每个元素为 -1 的情况，堪称崩溃。
     • 由于 min() 的特性，最好的初始化应该是 float('inf')，这样不会影响后续的递推，也不会影响初始化，只需要在最后检查结果是否是 float('inf') 即可。
     • 如果被题目默认的初始化条件所迷惑，而没有认识到 min() 的需求，那就会踩坑（虽然也能解决问题）。

4. dp 的遍历顺序：由于不需要排列，二维数组可以解决，物品和背包的顺序无所谓。

5. 举例推导：coins = [1, 2, 5], amount = 5

   	0	1	2	3	4	5
   1	0	1	2	3	4	5
   2	0	1	1	2	2	3
   5	0	1	1	2	2	1

class Solution:def coinChange(self, coins: List[int], amount: int) -> int:# dp[i][j] represents the smallest number to make j using coins [0, i]dp = [[-1] * (amount + 1) for _ in range(len(coins))]for j in range(amount + 1):if j % coins[0] == 0:dp[0][j] = j // coins[0]for i in range(len(coins)):dp[i][0] = 0# dp formulafor i in range(1, len(coins)):for j in range(amount + 1):if j < coins[i]:dp[i][j] = dp[i-1][j]else:if dp[i-1][j] >= 0 and dp[i][j-coins[i]] >= 0:dp[i][j] = min(dp[i-1][j], dp[i][j-coins[i]] + 1)elif dp[i-1][j] == -1 and dp[i][j-coins[i]] >= 0:dp[i][j] = dp[i][j-coins[i]] + 1elif dp[i-1][j] >= 0 and dp[i][j-coins[i]] == -1:dp[i][j] = dp[i-1][j]else:dp[i][j] = -1return dp[-1][-1]

正确初始化的解法

class Solution:def coinChange(self, coins: List[int], amount: int) -> int:# dp[i][j] represents the smallest number to make j using coins [0, i]dp = [[float('inf')] * (amount + 1) for _ in range(len(coins))]for j in range(amount + 1):if j % coins[0] == 0:dp[0][j] = j // coins[0]for i in range(len(coins)):dp[i][0] = 0# dp formulafor i in range(1, len(coins)):for j in range(amount + 1):if j < coins[i]:dp[i][j] = dp[i-1][j]else:dp[i][j] = min(dp[i-1][j], dp[i][j-coins[i]] + 1)return dp[-1][-1] if dp[-1][-1] != float('inf') else -1

滚动数组

之前做过的几道完全背包，先物品后背包是求组合种类问题，先背包后物品是求排列种类问题。如上所述，本题只要求满足金额的硬币数，不在意满足金额的结果的顺序，所以物品、背包的遍历顺序都可以。

class Solution:def coinChange(self, coins: List[int], amount: int) -> int:# dp[i][j] represents the smallest number to make j using coins [0, i]dp = [-1] * (amount + 1)dp[0] = 0# dp formulafor i in range(len(coins)):for j in range(amount + 1):if j >= coins[i]:if dp[j] >= 0 and dp[j-coins[i]] >= 0:dp[j] = min(dp[j], dp[j-coins[i]] + 1)elif dp[j] == -1 and dp[j-coins[i]] >= 0:dp[j] = dp[j-coins[i]] + 1elif dp[j] >= 0 and dp[j-coins[i]] == -1:dp[j] = dp[j]else:dp[j] = -1return dp[-1]

正确初始化的解法

class Solution:def coinChange(self, coins: List[int], amount: int) -> int:# dp[i][j] represents the smallest number to make j using coins [0, i]dp = [float('inf')] * (amount + 1)dp[0] = 0# dp formulafor i in range(len(coins)):for j in range(amount + 1):if j >= coins[i]:dp[j] = min(dp[j], dp[j-coins[i]] + 1)return dp[-1] if dp[-1] != float('inf') else -1

279. 完全平方数

题目链接 | 理论基础

本题乍一看和完全背包没什么关系。将完全平方数 1，4，9 … 看作是物品，n 看作是背包容量的话，就又是一道标准的完全背包问题：求填满背包使用的最少物品数。抽象过后，本题和上一题几乎是一模一样。

唯一的区别在于，由于 n 的范围很大，在 n 取较大值的时候会耗时较长。二维数组会直接超时，而滚动数组也需要直接利用更新范围来减少遍历时间。这也是第一道二维数组无法解题的背包问题。

class Solution:def numSquares(self, n: int) -> int:# dp[j] represents the number of ways to make jdp = [float('inf')] * (n+1)dp[0] = 0max_sqrt_num = int(sqrt(n))# dp formulafor i in range(max_sqrt_num):for j in range((i+1) * (i+1), n+1):dp[j] = min(dp[j], dp[j-(i+1)*(i+1)] + 1)return dp[-1]