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图灵机(turing machine)

学过计算机的人总归会多或少得听说过图灵机这种东西，但是图灵机究竟是什么呢？图灵机其实也是自动机的一种，并且图灵机会在状态转换过程中操作一个无限的tape

tape的样子如下图所示，tape里面包含字符，其中后面那个两竖一横的符号是blank的意思，它是一个特殊的字符，用来填满无限的tape

tape head指向当前tape上的字符

tape上的操作

• 可以对tape head指向的字符进行读/扫描操作
• 可以对tape head指向的字符进行写/更新操作
• 将tape head左移一格
• 将tape head右移一格

操作规则：
1、
每一步操作都要执行一下操作

• 读取当前的字符
• 更新当前格子中的字符
• 左移一格或者右移一格

如果当前tape指向最左边的格子，那么执行左移操作将不会发生移动

如果你不想更改当前格的字符，那么执行更新操作的时候只要让它更新为和当前字符一样即可

2、
操作行为类似于有限状态机

有初始状态

终止状态有两种：

• accept state
• reject state

计算结束后状态会变成下列三种中的一种：

• 终止并且接受(accept)
• 终止并且拒绝(reject)
• 循环(loop，就是说没有终止)

下面是图灵机的正式定义，Turing Machine可以表示为一个七元组$(S,\Sigma ,\Gamma ,\delta ,s_0,b,F)$

• S是一组状态的集合
• $\Sigma$是输入字母表
• $\Gamma$是tape的字母表
• $\delta$是转换函数
• $s_0$是初始状态
• $b$是空符号
• $F$是终止状态的集合(包括accept或reject)

转换函数 $\delta$定义为:
$$S\times \Sigma \to \Gamma \times (R/L)\times S$$

这里的(R/L)就是执行左移或者右移操作，R就是向右(right)移动，L就是向左(left)移动

以下面这张图为例，在图上$0\to 1,R$代表的含义是，在状态A时接收字符0，那么将会转变为状态B，并且在当前磁头位置写下1这个字符，然后磁头向右移动一格

例子

接下来我们通过构建一个图灵机，并且实际运算一下，看看图灵机究竟是如何进行计算的

我们要构建图灵机，用于计算n+1函数，下图的初始状态是q1，结束状态是qa

假设输入的数字为1011（二进制），初始时tape head指向第一个值

第一步读取一个1，自动机会通过$1\to 1，R$这个转换，转换后仍然变成$q_1$，在第一格写入1，并将tape head右移一格

接下来的步骤和上面一样分别读取0,1,1仍然转变为$q_1$，并且写上和原来相同的数字

这时候的tape head指向了空字符，按照状态机的转换$q_1$只能转变为$q_2$，要注意的是，tape head会往左移动一格

我们看看$q_2$这边的转换，碰到1就写入0，并且向左移动tape head，因为按照二进制加法的逻辑，最后一位如果是1，那么+1后变成0，并且会进一位，如果最后一位是0，那么就直接变成1就行了，故此有了图上$q_2$的转换

再执行一次上面的操作

这次读取到了0，所以状态$q_2$将会转变为$q_3$，并且将0覆写为1，然后向右移动一格

来到了$q_3$状态，在这个状态下，只要单纯向右移动即可，因为写入的数字是相同的

终于到了最后一步啦，看到读取空字符，然后$q_3$状态就会转变为$q_a$的接受状态，因为到达了终止状态，满足了图灵机的终止条件，所以图灵机运行完毕

我们来看看，我们输入的数字是1011，然后输出的数字是1100，所以我们实现的这个图灵机完成了n+1这个函数的操作步骤

格局(configuration)

configuration翻译成了格局，但这个东西其实就是一个图灵机在当前状态下的快照，由当前状态下tape中的字符，tape head指向的位置，以及当前自动机的状态这三个元素组成，可以简单的用如下图所示图灵机的格局

用字符串表示格局的话，是类似于下面这样的：

$▹$ 1100$q_1$ 11001

$▹$符号代表开始位置，里面的$q_1$代表当前的状态，里面的字符代表的tape中的字符，tape head指向的是状态右边的第一个字符，所以在这个例子里面，tape head指向的是1

Turing’s Thesis

Turing’s Thesis
1、任何能被数字计算机执行的事情，Turing Machine同样也能够完成（从这里可以看出Turing Machine能力相当强大）
2、如果你能写出一个算法来解决某个问题，那么同样可以写出一个图灵机程序来解决相同的问题