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模拟退火算法（Simulated Annealing, SA）是一种通用概率优化算法，用于在给定的大搜索空间内寻找问题的近似全局最优解。该算法灵感来源于物理学中固体物质的退火过程，其中温度逐渐降低，粒子逐渐趋于能量最低状态。
在MATLAB中实现模拟退火算法，我们首先需要定义目标函数（即我们需要最小化的能量或成本函数），然后设定算法的参数，如初始温度、降温速率、内循环次数（每个温度下的迭代次数）等。以下是一个简单的模拟退火算法实现示例，用于求解一维函数的最小值问题。
MATLAB 示例代码
假设我们要最小化函数 f(x)=x2 在区间 [−10,10] 内。
function simulatedAnnealingDemo() | |
% 目标函数 | |
f = @(x) x^2; | |
% 初始参数 | |
x_current = 0; % 当前解 | |
x_min = x_current; % 最小解 | |
f_min = f(x_current); % 最小解对应的函数值 | |
T = 100; % 初始温度 | |
T_min = 1e-6; % 最低温度 | |
alpha = 0.95; % 降温速率 | |
maxIter = 100; % 每个温度下的最大迭代次数 | |
% 模拟退火主循环 | |
while T > T_min | |
for i = 1:maxIter | |
% 生成新解 | |
x_new = x_current + randn() * T; % 以当前解为中心，T为标准差生成新解 | |
x_new = max(min(x_new, 10), -10); % 保持在定义域内 | |
% 计算新解的函数值 | |
f_new = f(x_new); | |
% 接受准则（Metropolis准则） | |
if f_new < f_min | |
x_current = x_new; | |
f_min = f_new; | |
elseif exp((f_min - f_new) / T) > rand() | |
x_current = x_new; | |
end | |
end | |
% 降温 | |
T = T * alpha; | |
% 显示当前最优解 | |
fprintf('T = %.4f, f_min = %.4f, x_min = %.4f\n', T, f_min, x_min); | |
end | |
% 显示最终结果 | |
disp(['最终解: x_min = ', num2str(x_min), ', f_min = ', num2str(f_min)]); | |
end |
说明
- 目标函数：这里我们定义了一个简单的平方函数 f(x)=x2。
- 初始参数：包括初始解、初始温度、最低温度、降温速率和每个温度下的迭代次数。
- 新解生成：通过在当前解的基础上加上一个与温度成正比的随机数来生成新解，确保新解在定义域内。
- 接受准则：如果新解的函数值小于当前最小函数值，则接受新解；否则，以一定概率接受新解，这个概率与温度和新旧解的函数值差有关。
- 降温：每次内循环结束后，温度按一定速率降低。
- 输出结果：在每个温度结束时，以及算法结束时，输出当前找到的最小值和对应的解。