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题目：2056 棋盘上有效移动组合的数目

有一个 8 x 8 的棋盘，它包含 n 个棋子（棋子包括车，后和象三种）。给你一个长度为 n 的字符串数组 pieces ，其中 pieces[i] 表示第 i 个棋子的类型（车，后或象）。除此以外，还给你一个长度为 n 的二维整数数组 positions ，其中 positions[i] = [ri, ci] 表示第 i 个棋子现在在棋盘上的位置为 (ri, ci) ，棋盘下标从 1 开始。

棋盘上每个棋子都可以移动 至多一次 。每个棋子的移动中，首先选择移动的 方向 ，然后选择 移动的步数 ，同时你要确保移动过程中棋子不能移到棋盘以外的地方。棋子需按照以下规则移动：

• 车可以 水平或者竖直 从 (r, c) 沿着方向 (r+1, c)，(r-1, c)，(r, c+1) 或者 (r, c-1) 移动。
• 后可以 水平竖直或者斜对角 从 (r, c) 沿着方向 (r+1, c)，(r-1, c)，(r, c+1)，(r, c-1)，(r+1, c+1)，(r+1, c-1)，(r-1, c+1)，(r-1, c-1) 移动。
• 象可以 斜对角 从 (r, c) 沿着方向 (r+1, c+1)，(r+1, c-1)，(r-1, c+1)，(r-1, c-1) 移动。

移动组合 包含所有棋子的 移动 。每一秒，每个棋子都沿着它们选择的方向往前移动 一步 ，直到它们到达目标位置。所有棋子从时刻 0 开始移动。如果在某个时刻，两个或者更多棋子占据了同一个格子，那么这个移动组合 不有效 。

请你返回 有效 移动组合的数目。

注意：

• 初始时，不会有两个棋子 在 同一个位置 。
• 有可能在一个移动组合中，有棋子不移动。
• 如果两个棋子 直接相邻 且两个棋子下一秒要互相占据对方的位置，可以将它们在同一秒内 交换位置 。

示例 1:

输入：pieces = ["rook"], positions = [[1,1]]
输出：15
解释：上图展示了棋子所有可能的移动。

示例 2：

输入：pieces = ["queen"], positions = [[1,1]]
输出：22
解释：上图展示了棋子所有可能的移动。

示例 3:

输入：pieces = ["bishop"], positions = [[4,3]]
输出：12
解释：上图展示了棋子所有可能的移动。

示例 4:

输入：pieces = ["rook","rook"], positions = [[1,1],[8,8]]
输出：223
解释：每个车有 15 种移动，所以总共有 15 * 15 = 225 种移动组合。
但是，有两个是不有效的移动组合：
- 将两个车都移动到 (8, 1) ，会导致它们在同一个格子相遇。
- 将两个车都移动到 (1, 8) ，会导致它们在同一个格子相遇。
所以，总共有 225 - 2 = 223 种有效移动组合。
注意，有两种有效的移动组合，分别是一个车在 (1, 8) ，另一个车在 (8, 1) 。
即使棋盘状态是相同的，这两个移动组合被视为不同的，因为每个棋子移动操作是不相同的。

示例 5：

输入：pieces = ["queen","bishop"], positions = [[5,7],[3,4]]
输出：281
解释：总共有 12 * 24 = 288 种移动组合。
但是，有一些不有效的移动组合：
- 如果后停在 (6, 7) ，它会阻挡象到达 (6, 7) 或者 (7, 8) 。
- 如果后停在 (5, 6) ，它会阻挡象到达 (5, 6) ，(6, 7) 或者 (7, 8) 。
- 如果象停在 (5, 2) ，它会阻挡后到达 (5, 2) 或者 (5, 1) 。
在 288 个移动组合当中，281 个是有效的。

提示：

• n == pieces.length
• n == positions.length
• 1 <= n <= 4
• pieces 只包含字符串 "rook" ，"queen" 和 "bishop" 。
• 棋盘上最多只有一个后。
• 1 <= ri, ci <= 8
• 每一个 positions[i] 互不相同。

代码以及解题思路

代码：

int rookDirections[4][2] = {{1, 0}, {-1, 0}, {0, 1}, {0, -1}};
int bishopDirections[4][2] = {{1, 1}, {1, -1}, {-1, 1}, {-1, -1}};
int queenDirections[8][2] = {{1, 0}, {-1, 0}, {0, 1}, {0, -1}, {1, 1}, {1, -1}, {-1, 1}, {-1, -1}};#define MAX_STACK_SIZE 1024typedef struct {int startX, startY, endX, endY, dx, dy, curX, curY;
} Movement;void initMovement(Movement *obj, int startX, int startY, int endX, int endY, int dx, int dy) {obj->startX = startX;obj->startY = startY;obj->endX = endX;obj->endY = endY;obj->dx = dx;obj->dy = dy;obj->curX = startX;obj->curY = startX;
}// Reset 重置棋子的当前位置
void reset(Movement *obj) {obj->curX = obj->startX;obj->curY = obj->startY;
}// Stopped 判断棋子是否停止
bool stopped(Movement *obj) {return obj->curX == obj->endX && obj->curY == obj->endY;
}// Advance 让棋子按照步长移动
void advance(Movement *obj) {if (!stopped(obj)) {obj->curX += obj->dx;obj->curY += obj->dy;}
}// Cross 判断两个棋子是否相遇
bool cross(Movement *m1, Movement *m2) {// 每次判断是否相遇时需要重置 curreset(m1);reset(m2);while (!stopped(m1) || !stopped(m2)) {advance(m1);advance(m2);if (m1->curX == m2->curX && m1->curY == m2->curY) {return true;}}return false;
}// Check 判断第 u 个棋子是否与之前的棋子发生相交
bool check(int u, Movement *stack) {for (int v = 0; v < u; v++) {Movement *m1 = &stack[u], *m2 = &stack[v];if (cross(m1, m2)) {return false;}}return true;
}void dfs(int u, char** pieces, int piecesSize, int** positions, Movement *stack, int *res) {if (u == piecesSize) {(*res)++;return;}// 处理第 u 个棋子原地不动的情况initMovement(&stack[u], positions[u][0], positions[u][1], positions[u][0], positions[u][1], 0, 0);if (check(u, stack)) {dfs(u + 1, pieces, piecesSize, positions, stack, res);}// 枚举第 u 个棋子在所有方向、所有步数的情况int (*directions)[2];int directionsSize = 0;if (!strcmp(pieces[u], "rook")) {directions = rookDirections;directionsSize = 4;} else if (!strcmp(pieces[u], "queen")) {directions = queenDirections;directionsSize = 8;} else {directions = bishopDirections;directionsSize = 4;}for (int i = 0; i < directionsSize; i++) {for (int j = 1; j < 8; j++) {int x = positions[u][0] + directions[i][0] * j;int y = positions[u][1] + directions[i][1] * j;if (x < 1 || x > 8 || y < 1 || y > 8) {break;}initMovement(&stack[u], positions[u][0], positions[u][1], x, y, directions[i][0], directions[i][1]);if (check(u, stack)) {dfs(u + 1, pieces, piecesSize, positions, stack, res);}}}
}int countCombinations(char** pieces, int piecesSize, int** positions, int positionsSize, int* positionsColSize) {int res = 0;Movement stack[MAX_STACK_SIZE];dfs(0, pieces, piecesSize, positions, stack, &res);return res;}

解题思路：

这个问题是关于在国际象棋棋盘上，给定一些棋子的类型和初始位置，计算它们移动到目标位置（这里假设目标位置是它们能移动到的任意合法位置，不一定是初始位置）的所有可能组合的数量，同时要求任意两个棋子在移动过程中不能相遇。棋子的类型包括车（rook）、象（bishop）和后（queen），每种棋子有不同的移动规则：

• 车（rook）可以沿直线水平或垂直移动任意步数。
• 象（bishop）可以沿对角线移动任意步数。
• 后（queen）可以沿直线或对角线移动任意步数。

解题思路如下：

1. 定义数据结构：
   • 使用 Movement 结构体来表示棋子的移动状态，包括起始位置、结束位置、当前位置、以及移动的方向（dx, dy）。
   • 使用 rookDirections、bishopDirections 和 queenDirections 数组来定义每种棋子的移动方向。
2. 初始化：
   • initMovement 函数用于初始化棋子的移动状态。
   • reset 函数用于重置棋子的当前位置到起始位置。
   • stopped 函数用于判断棋子是否已到达结束位置。
   • advance 函数用于按步长移动棋子。
3. 判断相遇：
   • cross 函数用于判断两个棋子在移动过程中是否会相遇。它首先重置两个棋子的当前位置，然后按照它们的移动规则逐步移动，如果在任何一步两个棋子的位置相同，则表示它们相遇。
4. 检查合法性：
   • check 函数用于检查在添加一个新的棋子移动方案后，该方案是否与之前的棋子移动方案发生冲突（即是否有棋子相遇）。
5. 深度优先搜索（DFS）：
   • dfs 函数是核心递归函数，用于枚举所有可能的棋子移动组合。
   • 它首先处理每个棋子原地不动的情况。
   • 然后，对于每种棋子和每个方向，它枚举棋子在该方向上移动1到7步（假设棋盘是8x8的）的所有可能情况。
   • 对于每种情况，如果它不与之前的棋子移动方案冲突，则递归地继续处理下一个棋子。
   • 当所有棋子都被处理完毕时，找到一个合法的组合，结果计数加一。
6. 主函数：
   • countCombinations 函数是程序的入口，它初始化结果变量和 Movement 栈，然后调用 dfs 函数开始搜索。
   • 最后，返回计算得到的合法组合数量。

通过这种方式，程序能够枚举所有可能的棋子移动组合，同时确保任意两个棋子在移动过程中不会相遇，从而计算出所有合法的组合数量。