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第一章 矩阵与线性方程组（十四）

1.向量范数用作Lyapunov函数

Lyapunov直接法是分析和构造线性和非线性控制系统最成功的工具之一。

• Lyapunov稳定性定理
  若对连续系统$x=f(x)$或离散系统$x_{k+1}=f(x_k)$存在一个函数$V(x)$具有平衡点$x=0$，且$V$在整个$R^n$内满足条件:
  (1)V是正定和径向无界函数
  (2)对$x\ne 0$
  $$DV=\underset{\Delta t\to 0}{\lim }sup\frac{V(x(t+\Delta t))-V(x(t))}{\Delta t}<0$$
  或
  $$\Delta V=V(x_{k+1})-V(x_k)<0(离散系统)$$
  则平衡点$x=0$是全局渐近稳定的。
  在向量$x$的$n$维空间内，考虑用向量范数
  $$V(x)=||Wx||$$
  其中，$W=[w_1,w_2,\dots ,w_n]$是mxn矩阵，且m>n和rank(W)=n。

$l_p$范数(Hölder范数)构成了一类特殊的向量范数，其中，Euclidean范数
$$V(x)=||Wx|{|}_2=(\sum _i|w_i^{T}x{|}^2{)}^{1/2}$$
和无穷范数
$$v(x)=||Wx|{|}_{\infty }=\underset{p\to \infty }{\lim }(\sum _i|w_i^{T}x{|}^p{)}^{1/p}=\underset{i}{\max }{w}_i^{T}x$$
是Lyapunov函数的两个重要例子。
+函数$V(x)=||Wx||$(其中，$W$是mxn矩阵，且$rankW=n$)是系统$x=Ax$的Lyapunov函数，当且仅当矩阵$W$是矩阵方程
$$WA-QW=O$$
的解，假定矩阵$Q$满足条件
$$\mu (Q)<0$$
其中
$$u(Q)=\underset{\Delta \to 0+}{\lim }\frac{||I+\Delta tQ||-1}{\Delta t}$$
$u(Q)$有时称为矩阵Q的对数矩阵范数。注意，对数矩阵范数可以是负数，这一点实际上与矩阵范数非负的性质相违背。

如果$$V(x)=||Wx|{|}_2=(\sum _i|w_i^{T}x{|}^2{)}^{1/2}$$的函数是Lyapunov函数，那么它的平方
$$V^2(x)=||Wx|{|}_2^2=\sum _{i=1}^n(w_i^{T}x{)}^2=x^T{W}^{T}Wx$$
也是Lyapunov数。上式的函数为二次型$x^{T}Rx$，其中
$$R=W^{T}W$$
这样的二次型函数是系统$\dot{x}=Ax$的Lyapunov函数，当且仅当
$$A^{T}R+RA=-\tilde{Q}$$
的解$\tilde{Q}$是一个正定对称矩阵。

• 下面两个集合等价:
  $$L_1=R\in R^{nxn}|A^{T}R+RA=-\tilde{Q}，其中，\tilde{Q},R>0，\tilde{Q}对称$$
  $$L_2=R\in R^{nxn}|R=w^{T}w,WA-QW=O，其中，{\mu }_2(Q)<0,rank(W)=n$$