算法训练营 day42 动态规划 理论基础 斐波那契数 爬楼梯 使用最小花费爬楼梯

理论基础

动态规划，英文：Dynamic Programming，简称DP，如果某一问题有很多重叠子问题，使用动态规划是最有效的。

所以动态规划中每一个状态一定是由上一个状态推导出来的，这一点就区分于贪心，贪心没有状态推导，而是从局部直接选最优的，

规是由前一个状态推导出来的，而贪心是局部直接选最优的，

状态转移公式（递推公式）是很重要，但动规不仅仅只有递推公式。

对于动态规划问题，我将拆解为如下五步曲，这五步都搞清楚了，才能说把动态规划真的掌握了！

1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义
2. 确定递推公式
3. dp数组如何初始化
4. 确定遍历顺序
5. 举例推导dp数组

斐波那契数

509. 斐波那契数 - 力扣（LeetCode）

斐波那契数 （通常用 F(n) 表示）形成的序列称为 斐波那契数列 。该数列由 0 和 1 开始，后面的每一项数字都是前面两项数字的和。

这里我们要用一个一维dp数组来保存递归的结果

1. 确定dp数组以及下标的含义

   dp[i]的定义为：第i个数的斐波那契数值是dp[i]

2. 确定递推公式

   题目已经把递推公式直接给我们了：状态转移方程 dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];

3. dp数组如何初始化

   题目中把如何初始化也直接给我们了

4. 确定遍历顺序

   从递归公式dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];中可以看出，dp[i]是依赖 dp[i - 1] 和 dp[i - 2]，那么遍历的顺序一定是从前到后遍历的

5. 举例推导dp数组

class Solution {public int fib(int n) {if(n<=1) return n;int[] dp = new int[n+1];dp[0] = 0;dp[1] = 1;for (int i = 2; i <=n; i++) {dp[i] = dp[i-1]+dp[i-2];}return dp[n];}
}

爬楼梯

70. 爬楼梯 - 力扣（LeetCode）

假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。

每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？

动规五部曲：

定义一个一维数组来记录不同楼层的状态

1. 确定dp数组以及下标的含义

   dp[i]： 爬到第i层楼梯，有dp[i]种方法

2. 确定递推公式

   从dp[i]的定义可以看出，dp[i] 可以有两个方向推出来。

   首先是dp[i - 1]，上i-1层楼梯，有dp[i - 1]种方法，那么再一步跳一个台阶不就是dp[i]了么。

   还有就是dp[i - 2]，上i-2层楼梯，有dp[i - 2]种方法，那么再一步跳两个台阶不就是dp[i]了么。

   那么dp[i]就是 dp[i - 1]与dp[i - 2]之和！

3. dp数组如何初始化

   其实这么争论下去没有意义，大部分解释说dp[0]应该为1的理由其实是因为dp[0]=1的话在递推的过程中i从2开始遍历本题就能过，然后就往结果上靠去解释dp[0] = 1。

   所以我的原则是：不考虑dp[0]如何初始化，只初始化dp[1] = 1，dp[2] = 2，然后从i = 3开始递推，这样才符合dp[i]的定义。

4. 确定遍历顺序

   从递推公式dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];中可以看出，遍历顺序一定是从前向后遍历的

5. 举例推导dp数组

class Solution {public int climbStairs(int n) {if (n<2) return n;int[] dp = new int[n+1];dp[1] = 1;dp[2] = 2;for (int i = 3; i < dp.length ; i++) {dp[i] = dp[i-2]+dp[i-1];}return dp[n];}
}

使用最小花费爬楼梯

746. 使用最小花费爬楼梯 - 力扣（LeetCode）

给你一个整数数组 cost ，其中 cost[i] 是从楼梯第 i 个台阶向上爬需要支付的费用。一旦你支付此费用，即可选择向上爬一个或者两个台阶。

你可以选择从下标为 0 或下标为 1 的台阶开始爬楼梯。

请你计算并返回达到楼梯顶部的最低花费。

1. 确定dp数组以及下标的含义

   本题只需要一个一维数组dp[i]就可以了。

​ dp[i]的定义：到达第i台阶所花费的最少体力为dp[i]。
2. 确定递推公式

可以有两个途径得到dp[i]，一个是dp[i-1] 一个是dp[i-2]。

dp[i - 1] 跳到 dp[i] 需要花费 dp[i - 1] + cost[i - 1]。

dp[i - 2] 跳到 dp[i] 需要花费 dp[i - 2] + cost[i - 2]。

那么究竟是选从dp[i - 1]跳还是从dp[i - 2]跳呢？

一定是选最小的，所以dp[i] = min(dp[i - 1] + cost[i - 1], dp[i - 2] + cost[i - 2]);

3. dp数组如何初始化

   看一下递归公式，dp[i]由dp[i - 1]，dp[i - 2]推出，既然初始化所有的dp[i]是不可能的，那么只初始化dp[0]和dp[1]就够了，其他的最终都是dp[0]dp[1]推出。

4. 确定遍历顺序

   因为是模拟台阶，而且dp[i]由dp[i-1]dp[i-2]推出，所以是从前到后遍历cost数组就可以了。

5. 举例推导dp数组

class Solution {public int minCostClimbingStairs(int[] cost) {if (cost.length==0) return 0;if (cost.length==1) return cost[0];int[] dp = new int[cost.length+1];dp[0] = 0;dp[1] = 0;for (int i = 2; i < dp.length; i++) {dp[i] = Math.min(dp[i-1]+cost[i-1],dp[i-2]+cost[i-2]);}return dp[cost.length];}
}