约瑟夫森效应

约瑟夫森理论

约瑟夫森方程

（1）每一个库柏对都可视为质量为2m、电量为2e的复合载流子，定向运动速度v就是库柏相对质心的速度。处于超导态的库柏对凝聚于同一量子态，运载电流时具有完全相同的动量P。用微观波函数来描述所有库柏对的运动，即
$$\begin{array}{r}\psi =\sqrt[1/2]{n_c}exp(i\varphi )\end{array}$$
式中，n_c=ΨΨ^*表示库柏对的体密度，φ是波函数的相位。根据量子力学，波函数Ψ满足下面的薛定谔方程
$$\begin{array}{r}i\hslash \frac{\partial \psi }{\partial t}=E\Psi \end{array}$$
其中，$\hslash$是普朗克常量，$\hslash$=h/2π，E是量子态的能量。
（2）随着约瑟夫森结一端的库柏对数量的增加，与此相对应，约瑟夫森结另一端的库柏对数量减少，由此可求得流过隧道结的超导电流密度为
$$\begin{array}{r}{J}_s=J_{c}sin\Delta \varphi =2e\frac{\partial n_{c_1}}{\partial t}\end{array}$$
式中，2e为库柏对两个电子，并有
$$\begin{array}{r}{J}_s=\frac{2K}{\hslash }2e\sqrt{n_{c_1}{n}_{c_2}}\end{array}$$
J_c称为隧道结的临界电流密度，K是与隧道结特性有关的常数，$n_c$为库柏对的体密度
位相差随时间的变化率为
$$\begin{array}{r}\frac{\partial \Delta \varphi }{\partial t}=\frac{2e{V}_0}{\hslash }\end{array}$$
（3）实际上，除电位差$V_0$造成位相差的时间变化外，磁场也将造成位相差的空间变化。磁场可以穿过势垒层，由于绝缘层厚度为d，磁场对超导体还有一个穿透深度$\lambda$，所以存在的磁场宽度为$\Lambda =2\lambda +d$。磁场和空间的位相差的关系满足下列表达式
$$\begin{array}{r}\frac{\partial \Delta \varphi }{\partial x}=\frac{2e\Lambda }{\hslash }{B}_y\end{array}$$
$$\begin{array}{r}\frac{\partial \Delta \varphi }{\partial y}=\frac{2e\Lambda }{\hslash }{B}_x\end{array}$$
(3)完整的约瑟夫森方程
超导电流的计算：
$$\begin{array}{r}{J}_s=J_{c}sin\Delta \varphi \end{array}$$
位相差随时间变化
$$\begin{array}{r}\frac{\partial \Delta \varphi }{\partial t}=\frac{2e{V}_0}{\hslash }\end{array}$$
磁场影响位相差的空间变化
$$\begin{array}{r}\frac{\partial \Delta \varphi }{\partial x}=\frac{2e\Lambda }{\hslash }{B}_y\end{array}$$
$$\begin{array}{r}\frac{\partial \Delta \varphi }{\partial y}=\frac{2e\Lambda }{\hslash }{B}_x\end{array}$$

直流约瑟夫森效应

定理：当结两端电压为零时，两个超导体波函数的位相差与时间无关，即可以存在一个超导电流，超导电流的大小由结两端电子对波的位相差决定，其临界电流密度为$J_s$。