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数学建模：线性与非线性优化算法

优化算法是指在满足一定条件下,在众多方案中或者参数中最优方案,或者参数值,以使得某个或者多个功能指标达到最优,或使得系统的某些性能指标达到最大值或者最小值

优化的两个关键点：

1.明确优化的目标函数
2.明确优化变量之间需要满足的约束

线性优化

使用函数：linprog

函数原型：

[x,fval]=linprog(f,A,b,Aeq,Beq,LB,UB)

• x：求得最优情况下变量的解
• fval：求得最优目标值
• f：目标函数的系数（符号按最小值标准，若目标是求解机大值可以通过添加负号改成求极小值）
• A：不等式约束的变量系数（符合按小于标准，如果是大于约束可通过加负号变成小于）
• b：不等式约束的常量
• Aeq：等式约束的变量系数
• Beq：等式约束的常量
• LB：变量的下限
• UB：变量的上限

例如我们需要计算求解如下线性函数的最优解：

m i n { − x 1 − 2 x 2 + 3 x 3 } x 1 + x 2 ⩾ 3 x 2 + x 3 ⩾ 3 x 1 + x 3 = 4 0 ≤ x 1 , x 2 , x 3 ≤ 2 \begin{gathered}min\{-x_1-2x_2+3x_3\} \\x_1+x_2\geqslant3 \\x_2+x_3\geqslant3 \\x_1+x_3=4 \\0\leq x_1,x_2,x_3\leq2 \end{gathered} min{−x1​−2x2​+3x3​}x1​+x2​⩾3x2​+x3​⩾3x1​+x3​=40≤x1​,x2​,x3​≤2​

clc;clear;f = [-1;-2;3];
%% 不等式约束
A = [-1,-1,0;0,-1,-1];
B = [-3,-3];%% 等式约束
Aeq = [1,0,1];
Beq = [4];%% 上下限
LB = zeros(3,1);
UB = 2*ones(3,1);%% 线性优化
[x,fval] = linprog(f,A,B,Aeq,Beq,LB,UB);%% 输出结果objstr = ['目标函数最优值：',num2str(fval)];
disp(objstr);
for i = 1:length(x)xstr = ['x',num2str(i),'的系数为: ',num2str(x(i))];disp(xstr);
end

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非线性优化

fmincon是MATLAB的非线性规划求解函数

[x,fval]=fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,Beq,LB,UB,nonlcon)

• x：求得最优情况下变量的解
• fval：求得最优目标值
• fun：目标函数（符号按最小值标准，若目标是求解机大值可以通过添加负号改成求极小值）
• x0：初始解
• A：不等式约束的变量系数（符合按小于标准，如果是大于约束可通过加负号变成小于）
• b：不等式约束的常量
• Aeq：等式约束的变量系数
• Beq：等式约束的常量
• LB：变量的下限
• UB：变量的上限
• nonlcon :非线性约束函数表达式

$$\begin{array}{c}max\left\{\begin{array}{c}{x}_1^2-x_2^2+x_2{x}_3\end{array}\right\}\\ 2x_1+x_2+3x_3\le 6\\ x_1^2+x_1{x}_2+x_2{x}_3\le x_2+6\\ 0\le x_1,x_2,x_3\le 1\end{array}$$

clc;clear;% 指定初始解
x0 = zeros(3,1);
%% <线性>不等约束
A = [2,1,3];
B = [6];%% <线性>等式约束
Aeq = [];
Beq = [];%% 变量上下限
LB = zeros(3,1);
UB = 1*ones(3,1);%% 整体非线性优化目标函数
fun = @(x) -x(1)^2-x(2)^2+x(2)*x(3);%% 取得非线性不等式约束函数
nonlcon = @noLinearLimited;
[x,fval] = fmincon(fun,x0,A,B,Aeq,Beq,LB,UB,nonlcon);objstr=['目标函数最优值：',num2str(-fval)];
disp(objstr)
for i=1:length(x)xstr=['x',num2str(i),'的值为：',num2str(x(i))];disp(xstr)
end%% 非线性不等式约束的表达式，如果有多个，则在C后面加; 补充即可
function [C,Ceq] = noLinearLimited(x)C = [x(1)^2+x(1)*x(2)+x(2)*x(3)-x(2)-6];Ceq = [];
end