1 基本概念

位平面分解的核心思想是将图像的每一个像素分解为多个二进制位，分别存储在不同的位平面上。例如，如果一个图像是8位深度的，则可以分解为8个位平面，每个位平面上存储一个二进制位。

位平面分解在图像压缩中有着重要的应用，因为它可以有效减少图像的存储大小。例如，如果一个图像的最高位平面（即最高二进制位）存储的是图像的主要信息，那么将其单独存储可以大大减小图像的大小。

此外，位平面分解技术的应用非常广泛，除了压缩技术以外，在数字水印、和特征提取等方面都有重要的应用。通过对每个位平面进行单独处理，可以更加精细地处理图像信息，提高图像处理的效率和精度。

1.1 位平面分解流程：

1. 读入灰度图像并将其转换为二进制形式，即将每个像素点的灰度值表示成8位二进制数。
2. 对于每个像素点的二进制数，将它们按位拆分为8个二进制数，每个数表示一个位平面。
3. 对于每个位平面，将其转换为0或255的二值图像。具体方法是将每个像素点的该位的二进制数值提取出来，然后将该值赋为0或255。这样就可以得到8个二值图像，每个图像表示了原图像中某一位上的信息。
4. 保存每个位平面的二值图像，以便后续使用。

1.2 位平面分解算法原理

假设原图像为 $I(x,y)$，灰度级为 $g(x,y)$，每个像素点的灰度值可以表示成一个8位的二进制数，即 $g(x,y)=b_7{2}^7+b_6{2}^6+b_5{2}^5+b_4{2}^4+b_3{2}^3+b_2{2}^2+b_1{2}^1+b_0$，其中 $b_7$ 到 $b_0$ 分别表示第7位到第0位的二进制值，取值为0或1。

对于第 $i$ 个位平面，可以通过如下公式将其转换为0或255的二值图像 $P_i(x,y)$：

$$P_i(x,y)=\{\begin{array}{ll}255& \text{if }{b}_i=1\\ 0& \text{if }{b}_i=0\end{array}$$
这里 $b_i$ 表示 $g(x,y)$ 的第 $i$ 位二进制值。

因此，可以将原图像 $I(x,y)$ 的每个像素点的二进制值拆分成8个位平面，得到8个二值图像 $P_0(x,y),P_1(x,y),\cdots ,P_7(x,y)$，它们表示了原图像中的信息在每个二进制位上的分布情况。

举个例子，当我们的原始数据像素数据为：

则首先将其格式转为二进制：

之后将二进制的各位分别取出，就形成了分解后的位平面：

2 位平面分解的Python实现

1. 使用OpenCV的imread函数读入一幅灰度图像，灰度值范围为0~255，并用imshow函数显示原图像。

import cv2  
import numpy as np  # 读入灰度图像并显示  
lena = cv2.imread("lenacolor.png", 0)  
cv2.imshow("lena", lena)

2. 获取图像的尺寸，即行数和列数。

# 获取图像的尺寸  
r, c = lena.shape

3. 构造表示二进制位的图像，即构造8个大小与原图像大小相同的图像，每个图像上的像素值表示二进制数值的某一位。即$$（1，2，4，...，128）$$如换算成二进制则为$$（00000001，00000010，00000100，...，10000000）$$

# 构造表示二进制位的图像  
x = np.zeros((r, c, 8), dtype=np.uint8)  
for i in range(8):  x[:, :, i] = 2 ** i  
print(x)

其中x=np.zeros((r, c,8), dtype=np.uint8)语句设置一个用于提取各个位平面的提取矩阵。该矩阵是“r×c×8”大小的，其中r是行高，c是列宽，8表示共有8个通道。矩阵x的8个通道分别用来提取灰度图像的8个位平面。例如，x[:, :,0]用来提取灰度图像的第0个位平面。

4. 构造表示每个位平面的图像，即将原图像的每个像素的二进制数值按位拆分，并将对应位平面上的像素值赋为该二进制位的数值，其余像素值为0。并执行二进制维度上的AND关系。使用OpenCV的位运算 AND 可以直接执行上述操作。与运算的讲解点此查看

# 构造表示每个位平面的图像，并显示  
r = np.zeros((r, c, 8), dtype=np.uint8)  
for i in range(8):  # 使用位运算 AND 获取当前位平面的二值图像  r[:, :, i] = cv2.bitwise_and(lena, x[:, :, i])

5. 将当前位平面的非零像素值赋为255，将该位平面的二值图像转换为0/255的形式。这是因为位平面分解后的图像应为二值图像，而Python在展示是默认为8位像素。因此我们要将二值的0或1转化为8位的0或255。

for i in range(8):  # 使用位运算 AND 获取当前位平面的二值图像  r[:, :, i] = cv2.bitwise_and(lena, x[:, :, i])  print(r)  # 将非零像素值赋为255，将当前位平面的二值图像转换为0/255的形式  mask = r[:, :, i] > 0  r[mask] = 255

6. 最后，使用imshow函数显示当前位平面的二值图像。完整的函数如下：

import cv2  
import numpy as np  # 读入灰度图像并显示  
lena = cv2.imread("lenacolor.png", 0)  
#cv2.imshow("lena", lena)  # 获取图像的尺寸  
r, c = lena.shape  # 构造表示二进制位的图像  
x = np.zeros((r, c, 8), dtype=np.uint8)  
for i in range(8):  x[:, :, i] = 2 ** i  
print(x)  # 构造表示每个位平面的图像，并显示  
r = np.zeros((r, c, 8), dtype=np.uint8)  
for i in range(8):  # 使用位运算 AND 获取当前位平面的二值图像  r[:, :, i] = cv2.bitwise_and(lena, x[:, :, i])  print(r)  # 将非零像素值赋为255，将当前位平面的二值图像转换为0/255的形式  mask = r[:, :, i] > 0  r[mask] = 255  # 显示当前位平面的二值图像  cv2.imshow(str(i), r[:, :, i])  # 等待用户按下任意键，然后关闭所有窗口  
cv2.waitKey()  
cv2.destroyAllWindows()

最终，图象被分解成了8张二值图像。并且位数越高的二值图像，越能体现出原始图像的特征。