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news 2026/4/6 18:45:41

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一、互相关运算

二、卷积层

三、图像中目标的边缘检测

四、学习卷积核

五、特征映射和感受野

一、互相关运算

严格来说，卷积层是个错误的叫法，因为它所表达的运算其实是互相关运算（cross-correlation），而不是卷积运算。在卷积层中，输入张量和核张量通过互相关运算产生输出张量。

首先，我们暂时忽略通道（第三维）这一情况，看看如何处理二维图像数据和隐藏表示。在下图中，输入是高度为 $3$ 、宽度为 $3$ 的二维张量（即形状为 $3 \times 3$ ）。卷积核的高度和宽度都是 $2$ ，而卷积核窗口（或卷积窗口）的形状由内核的高度和宽度决定（即 $2 \times 2$ ）。

在二维互相关运算中，卷积窗口从输入张量的左上角开始，从左到右、从上到下滑动。当卷积窗口滑动到新一个位置时，包含在该窗口中的部分张量与卷积核张量进行按元素相乘，得到的张量再求和得到一个单一的标量值，由此我们得出了这一位置的输出张量值。

在如上例子中，输出张量的四个元素由二维互相关运算得到，这个输出高度为 $2$ 、宽度为 $2$ ，如下所示：

$0\times 0+1\times 1+3\times 2+4\times 3=19, $$ $$ 1\times 0+2\times 1+4\times 2+5\times 3=25, $$ $$ 3\times 0+4\times 1+6\times 2+7\times 3=37, $$ $$ 4\times 0+5\times 1+7\times 2+8\times 3=43.$

注意，输出大小略小于输入大小。这是因为卷积核的宽度和高度大于1，而卷积核只与图像中每个大小完全适合的位置进行互相关运算。所以，输出大小等于输入大小 $n_h \times n_w$ 减去卷积核大小 $k_h \times k_w$ 加 $1$ ，即：

$(n_h-k_h+1) \times (n_w-k_w+1).$

接下来，我们在`corr2d`函数中实现如上过程，该函数接受输入张量`X`和卷积核张量`K`，并返回输出张量`Y`。

import torch
from torch import nn
from d2l import torch as d2l

def corr2d(X, K):"""计算二维互相关运算"""h, w = K.shapeY = torch.zeros((X.shape[0] - h + 1, X.shape[1] - w + 1))   # 先算出输出张量的形状并初始化为0for i in range(Y.shape[0]):for j in range(Y.shape[1]):Y[i, j] = (X[i:i + h, j:j + w] * K).sum()   # 输出张量的每一个元素都是X与K经过某种计算得到的return Y    # 返回二维互相关运算后的结果Y

我们来验证上述二维互相关运算的输出。

X = torch.tensor([[0.0, 1.0, 2.0], [3.0, 4.0, 5.0], [6.0, 7.0, 8.0]])
K = torch.tensor([[0.0, 1.0], [2.0, 3.0]])
print(corr2d(X, K))

tensor([[19., 25.],[37., 43.]])

二、卷积层

卷积层对输入和卷积核权重进行互相关运算，并在添加标量偏置之后产生输出。所以，卷积层中的两个被训练的参数是卷积核权重和标量偏置，如下图所示。就像我们之前随机初始化全连接层一样，在训练基于卷积层的模型时，我们也随机初始化卷积核权重。

基于上面定义的`corr2d`函数实现二维卷积层。在`__init__`构造函数中，将`weight`和`bias`声明为两个模型参数。前向传播函数调用`corr2d`函数并添加偏置。

class Conv2D(nn.Module):def __init__(self, kernel_size):super().__init__()self.weight = nn.Parameter(torch.rand(kernel_size))self.bias = nn.Parameter(torch.zeros(1))def forward(self, x):return corr2d(x, self.weight) + self.bias

高度和宽度分别为 $h$ 和 $w$ 的卷积核可以被称为 $h \times w$ 卷积或 $h \times w$ 卷积核。我们也将带有 $h \times w$ 卷积核的卷积层称为 $h \times w$ 卷积层。

三、图像中目标的边缘检测

如下是卷积层的一个简单应用：通过找到像素变化的位置，来检测图像中不同颜色的边缘。

首先，我们构造一个 $6\times 8$ 像素的黑白图像。中间四列为黑色（ $0$ ），其余像素为白色（ $1$ ）。

X = torch.ones((6, 8))
X[:, 2:6] = 0
print(X)

tensor([[1., 1., 0., 0., 0., 0., 1., 1.],[1., 1., 0., 0., 0., 0., 1., 1.],[1., 1., 0., 0., 0., 0., 1., 1.],[1., 1., 0., 0., 0., 0., 1., 1.],[1., 1., 0., 0., 0., 0., 1., 1.],[1., 1., 0., 0., 0., 0., 1., 1.]])

接下来，我们构造一个高度为 $1$ 、宽度为 $2$ 的卷积核`K`。当进行互相关运算时，如果水平相邻的两元素相同，则输出为零，否则输出为非零。

K = torch.tensor([[1.0, -1.0]])

现在，我们对参数`X`（输入）和`K`（卷积核）执行互相关运算。如下所示，输出`Y`中的1代表从白色到黑色的边缘，-1代表从黑色到白色的边缘，其他情况的输出为0。

Y = corr2d(X, K)
Y

tensor([[ 0.,  1.,  0.,  0.,  0., -1.,  0.],[ 0.,  1.,  0.,  0.,  0., -1.,  0.],[ 0.,  1.,  0.,  0.,  0., -1.,  0.],[ 0.,  1.,  0.,  0.,  0., -1.,  0.],[ 0.,  1.,  0.,  0.,  0., -1.,  0.],[ 0.,  1.,  0.,  0.,  0., -1.,  0.]])

现在我们将输入的二维图像转置，再进行如上的互相关运算。其输出如下，之前检测到的垂直边缘消失了。不出所料，这个卷积核`K`只可以检测垂直边缘，无法检测水平边缘。

corr2d(X.t(), K)

tensor([[0., 0., 0., 0., 0.],[0., 0., 0., 0., 0.],[0., 0., 0., 0., 0.],[0., 0., 0., 0., 0.],[0., 0., 0., 0., 0.],[0., 0., 0., 0., 0.],[0., 0., 0., 0., 0.],[0., 0., 0., 0., 0.]])

四、学习卷积核

如果我们只需寻找黑白边缘，那么以上`[1, -1]`的边缘检测器足以。然而，当有了更复杂数值的卷积核，或者连续的卷积层时，我们不可能手动设计滤波器。那么我们可以学习由`X`生成`Y`的卷积核。

现在让我们看看是否可以通过仅查看“输入-输出”对来学习由`X`生成`Y`的卷积核。我们先构造一个卷积层，并将其卷积核初始化为随机张量。接下来，在每次迭代中，我们比较`Y`与卷积层输出的平方误差，然后计算梯度来更新卷积核。为了简单起见，我们在此使用内置的二维卷积层，并忽略偏置。

# 构造一个二维卷积层，它具有1个输入通道、1个输出通道和形状为(1，2)的卷积核
conv2d = nn.Conv2d(1, 1, kernel_size=(1, 2), bias=False)    # 因为我们前面用的是二维互相关运算corr2d()由X生成的Y，因此不需要bias# 这个二维卷积层使用四维输入和输出格式（批量大小、通道、高度、宽度），
# 其中批量大小和通道数都为1
X = X.reshape((1, 1, 6, 8))
Y = Y.reshape((1, 1, 6, 7))
lr = 3e-2  # 学习率for i in range(10):Y_hat = conv2d(X)l = (Y_hat - Y) ** 2    # 使用均方误差conv2d.zero_grad()l.sum().backward()# 迭代卷积核conv2d.weight.data[:] -= lr * conv2d.weight.grad    # 手写实现梯度下降if (i + 1) % 2 == 0:print(f'epoch {i+1}, loss {l.sum():.3f}')

epoch 2, loss 6.422
epoch 4, loss 1.225
epoch 6, loss 0.266
epoch 8, loss 0.070
epoch 10, loss 0.022

在10次迭代之后，误差已经降到足够低。现在我们来看看我们所学的卷积核的权重张量。

conv2d.weight.data.reshape((1, 2))

tensor([[ 1.0010, -0.9739]])

我们学习到的卷积核权重非常接近我们之前定义的卷积核`K`。

五、特征映射和感受野

下图中输出的卷积层有时被称为特征映射（feature map），因为它可以被视为一个输入映射到下一层的空间维度的转换器。

在卷积神经网络中，对于某一层的任意元素 $x$ ，其感受野（receptive field）是指在前向传播期间可能影响 $x$ 计算的所有元素（来自所有先前层）。

请注意，感受野可能大于输入的实际大小。让我们用上图为例来解释感受野：给定 $2 \times 2$ 卷积核，阴影输出元素值 $19$ 的感受野是输入阴影部分的四个元素。假设之前输出为 $\mathbf{Y}$ ，其大小为 $2 \times 2$ ，现在我们在其后附加一个卷积层，该卷积层以 $\mathbf{Y}$ 为输入，输出单个元素 $z$ 。在这种情况下， $\mathbf{Y}$ 上的 $z$ 的感受野包括 $\mathbf{Y}$ 的所有四个元素，而输入的感受野包括最初所有九个输入元素。