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动态规划汇总
数论 区间合并

LeetCode3041. 修改数组后最大化数组中的连续元素数目

给你一个下标从 0 开始只包含 正 整数的数组 nums 。
一开始，你可以将数组中 任意数量 元素增加 至多 1 。
修改后，你可以从最终数组中选择 一个或者更多 元素，并确保这些元素升序排序后是 连续 的。比方说，[3, 4, 5] 是连续的，但是 [3, 4, 6] 和 [1, 1, 2, 3] 不是连续的。
请你返回 最多 可以选出的元素数目。
示例 1：
输入：nums = [2,1,5,1,1]
输出：3
解释：我们将下标 0 和 3 处的元素增加 1 ，得到结果数组 nums = [3,1,5,2,1] 。
我们选择元素 [3,1,5,2,1] 并将它们排序得到 [1,2,3] ，是连续元素。
最多可以得到 3 个连续元素。
示例 2：
输入：nums = [1,4,7,10]
输出：1
解释：我们可以选择的最多元素数目是 1 。
提示：
1 <= nums.length <= 10⁵
1 <= nums[i] <= 10⁶

数论

先排序。
合并方式一：如果[left,r]中的数至少出现1次，则可以通过将所有数+1，从[left,r]转化成[left+1,r+1]。
合并方式二：如果[left,r]中的数至少出现1次，且至少一个数x出现两次。则可以将[left,r]转化成[left,r+1]。x$\to$x+1,x+1$\to$x+2 $\cdots$ r $\to$ r+1。 如： {1,1,2,3} $\to$ {1,2,3,4}
如果 [l1,r1] 和[l2,r2] 是合法区间，r1+2= l2
方式一合并后，变成[l1+1,r2] ，由于缺少l1,合并后无法合并更小的区间。
方式二合并后，变成[l1,r2]，可以继续合并更小的区间。
合并后的重复数字以[l2,r2]为准，[l1,r1]无论有多少个数字多不能变成r1+2，所以不会影响新区间。
我们枚举方式二的开始，如果 [l1,r1] 和[l2,r2] 能通过方式二合并，则无需枚举[l2,r2]。

代码

核心代码

template<class ELE>
void MaxSelf(ELE* seft, const ELE& other)
{*seft = max(*seft, other);
}#define MacEnumMask(mask,maskMax) for (int mask = maskMax; mask; mask = (mask - 1) & maskMax) class Solution {
public:int maxSelectedElements(vector<int>& nums) {sort(nums.begin(), nums.end());vector<tuple<int, int, bool>> vLRTow;int left = 0;bool bRepeat = false;for (int i = 1; i < nums.size(); i++){if (nums[i] == nums[i - 1]){bRepeat = true;}else if (nums[i] != nums[i - 1] + 1){vLRTow.emplace_back(nums[left], nums[i - 1], bRepeat);left = i;bRepeat = false;}}vLRTow.emplace_back(nums[left], nums.back(), bRepeat);std::unordered_map<int, int> mEndToLen;for (const auto& [left, r, tmp] : vLRTow){mEndToLen[r] = r - left + 1;}vector<tuple<int, int, bool>> vLRTow2;for (int i = 0; i  < vLRTow.size(); ){		vLRTow2.emplace_back(vLRTow[i]);i++;for ( ; i < vLRTow.size(); i ++){if (get<2>(vLRTow2.back()) && (get<1>(vLRTow2.back()) + 2 == get<0>(vLRTow[i]))){get<2>(vLRTow2.back()) = get<2>(vLRTow[i]);get<1>(vLRTow2.back()) = get<1>(vLRTow[i]);}else{break;}}			}		int iRet = 0;for (int i = 0 ; i < vLRTow2.size();i++){const auto& [left, r, bReapt] = vLRTow2[i];int pre = mEndToLen.count(left-2 )? mEndToLen[left-2] :0;MaxSelf(&iRet, pre + r - left + 1 + bReapt);}return iRet;}
};

测试用例

int main()
{vector<int> nums;{Solution sln;nums = { 16,1,6,14,5,10,16,3,3,7,12,18,6,11,10,10,9,16 };auto res = sln.maxSelectedElements(nums);Assert(13, res);}{Solution sln;nums = { 9, 8, 8, 5, 15, 9, 12, 5, 1, 3, 7, 18, 10 };auto res = sln.maxSelectedElements(nums);Assert(9, res);}{Solution sln;nums = { 8,13,18,10,16,19,11,17,15,18,9,12,15,8,9,14,7 };auto res = sln.maxSelectedElements(nums);Assert(14, res);}{Solution sln;nums = { 12, 11, 8, 7, 2, 10, 18, 12 };auto res = sln.maxSelectedElements(nums);Assert(6, res);}{Solution sln;nums = { 8,10,6,12,9,12,2,3,13,19,11,18,10,16 };auto res = sln.maxSelectedElements(nums);Assert(8, res);}{Solution sln;nums = { 2,1,4,1,1 };auto res = sln.maxSelectedElements(nums);Assert(4, res);}{Solution sln;nums = { 2,1,5,1,1 };auto res = sln.maxSelectedElements(nums);Assert(3, res);}	
}

优化代码：简洁

template<class ELE>
void MaxSelf(ELE* seft, const ELE& other)
{*seft = max(*seft, other);
}#define MacEnumMask(mask,maskMax) for (int mask = maskMax; mask; mask = (mask - 1) & maskMax) class Solution {
public:int maxSelectedElements(vector<int>& nums) {sort(nums.begin(), nums.end());vector<tuple<int, int, bool>> vLRTow;int left = 0;bool bRepeat = false;for (int i = 1; i < nums.size(); i++){if (nums[i] == nums[i - 1]){bRepeat = true;}else if (nums[i] != nums[i - 1] + 1){vLRTow.emplace_back(nums[left], nums[i - 1], bRepeat);left = i;bRepeat = false;}}vLRTow.emplace_back(nums[left], nums.back(), bRepeat);int iRet = 0;for (int i = 0; i < vLRTow.size(); ){	int j = i + 1;int right = get<1>(vLRTow[i]) + get<2>(vLRTow[i]);for (; j < vLRTow.size(); j++){if (get<2>(vLRTow[j-1]) && (get<1>(vLRTow[j - 1]) + 2 == get<0>(vLRTow[j]))){right = get<1>(vLRTow[j]) + get<2>(vLRTow[j]);}else{break;}}			int pre = ((i > 0) && (get<1>(vLRTow[i - 1]) + 2 == get<0>(vLRTow[i]))) ? (get<1>(vLRTow[i - 1]) - get<0>(vLRTow[i - 1]) + 1) : 0;MaxSelf(&iRet, right - get<0>(vLRTow[i])+1 + pre );i = j;}return iRet;}
};

动态规划

动态规划的状态

dp[x]表示以x结尾的最长连续数量。

动态规划的初始值

无，或者或全部为0。

动态规划的状态方程

$$\{\begin{array}{ll}dp[x+1]=max(dp[x+1],dp[x]+1)& x加一\\ dp[x]=max(dp[x],dp[x-1]+1)& x不变\end{array}$$

动态规划的填表顺序

x从小到大。先处理x+1，再处理x。否则{1}的结果是dp[1]=1,dp[2]=2。

代码

template<class ELE>
void MaxSelf(ELE* seft, const ELE& other)
{*seft = max(*seft, other);
}class Solution {
public:int maxSelectedElements(vector<int>& nums) {sort(nums.begin(), nums.end());unordered_map<int, int> dp;for (const auto& n : nums){MaxSelf(&dp[n + 1], dp[n] + 1);MaxSelf(&dp[n ], dp[n - 1] + 1);}int iRet = 0;for (const auto& [tmp, len] : dp){MaxSelf(&iRet, len);}return iRet;}
};

扩展阅读

视频课程

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https://edu.csdn.net/course/detail/38771

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我想对大家说的话
闻缺陷则喜是一个美好的愿望，早发现问题，早修改问题，给老板节约钱。
子墨子言之：事无终始，无务多业。也就是我们常说的专业的人做专业的事。
如果程序是一条龙，那算法就是他的是睛

测试环境

操作系统：win7 开发环境： VS2019 C++17
或者 操作系统：win10 开发环境： VS2022 C++17
如无特殊说明，本算法用**C++**实现。