1.近似GCD

1.题目描述

小蓝有一个长度为 $n$ 的数组 $A=\left(a_1,a_2,\cdots ,a_n\right)$, 数组的子数组被定义为从 原数组中选出连续的一个或多个元素组成的数组。数组的最大公约数指的是数 组中所有元素的最大公约数。如果最多更改数组中的一个元素之后, 数组的最 大公约数为 $g$, 那么称 $g$ 为这个数组的近似 GCD。一个数组的近似 GCD 可能 有多种取值。

具体的, 判断 $g$ 是否为一个子数组的近似 GCD 如下:

如果这个子数组的最大公约数就是 $g$, 那么说明 $g$ 是其近似 GCD。

在修改这个子数组中的一个元素之后 (可以改成想要的任何值), 子数 组的最大公约数为 $g$, 那么说明 $g$ 是这个子数组的近似 GCD。

小蓝想知道, 数组 $A$ 有多少个长度大于等于 2 的子数组满足近似 GCD 的值为$g$.

2.输入格式

输入的第一行包含两个整数 $n,g$，用一个空格分隔，分别表示数组 $A$ 的长度和 $g$ 的值。
第二行包含 $n$ 个正数 $a_1,a_2,\cdots ,a_n,$ 相邻两个整数之间用一个空格分隔。

3.输出格式

输出一行包含一个整数表示数组 $A$ 有多少个长度大于等于 2 的子数组的近 似 GCD 的值为 $g$ 。

4.样例输入

5 3
1 3 6 4 10

5.样例输出

5

6.数据范围

$2\le n\le 10^5,1\le g,ai\le 10^9。$

7.原题链接

近似GCD

2.解题思路

首先，如果一个数是g的倍数，那我们称其为符合条件的数。如果一个数组的近似GCD为 $g$，那么该数组最多只能有一个数不符合条件。为什么呢？因为如果只有一个不符合条件的数话，我们将其变为g，那么该数组的GCD将为g。如果数组全部符合条件呢？那我们只需要随便将其中一个数变为g，该数组的GCD也将为g。

那么现在问题就转换为存在多少个长度大于2的子数组使得子数组内最多只存在一个不符合条件的数，这个问题我们可以使用双指针解决。右指针r遍历数组的每一个数，左指针l将是以r将作为子数组的右端点的情况下，左端点能最远能到达的距离，也就是使得$[l,r]$区间最多只存在一个不符合条件的数，且 $l$ 和 $r$ 之间的距离尽可能长。这样的话，数组$[l,r]$,$[l+1,r]$,$[l+2,r]$…$[r-1,r]$都是符合条件的答案，总共是r-l个。对于数组的每一个数我们都将其作为r后，累加答案即可。

但是对于每个数的上界l我们该如何考虑呢？如果是符合条件的数，那么它的上界是上两个不符合条件的数的下一个数。就比如下标c是符合条件的数，在它之前上一个不符合条件的数下标是b，再往前一个不符合条件的数的下标为a，那么c的上界下标l应该指向a+1。如果是不符合条件的数，那么很明显它的上界应该是上一个不符合条件的数的下一个数。 同样假设下标c的上一个不符合条件的数的下标为b，那么它的上界就应该是b+1。明白了这个过程后，我们使用变量last来记录上一次不符合条件的数的位置，每次遇到不符合条件的数，就将l和last更新。

当然上述双指针做法过于抽象，我们考虑变换数组的值，如果其是符合条件的数，我们将其值赋为1，否则赋为0，对于区间$[l,r]$是否为符合条件的子数组，只需要判断 $sum[l,r]$是否大于等于 $r-l$。求区间和 $sum$，我们可以使用前缀和数组直接获取，但由于是双指针，也可以同时维护，这里代码使用了前缀和数组。

时间复杂度:$O(n)$。

3.Ac_code

1.C++

代码1:

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N=100010;int n,g;
int a[N];int main() 
{scanf("%d%d",&n,&g);for(int i=1;i<=n;++i){scanf("%d",&a[i]);}LL ans=0;//记录上一个不符合条件的数int last=0;//记录符合条件子数组的左区间int l=1;for(int r=1;r<=n;++r){//判断它是否是符合条件的数bool t=a[r]%g==0;if(!t){//时刻保证区间内不符合条件的数只能有一个l=last+1,last=r;}//累加答案ans+=r-l;}printf("%lld\n",ans);return 0;
}

代码2：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef unsigned long long uLL;
typedef pair<int, int> PII;
#define pb(s) push_back(s);
#define SZ(s) ((int)s.size());
#define ms(s,x) memset(s, x, sizeof(s))
#define all(s) s.begin(),s.end()
const int inf = 0x3f3f3f3f;
const int mod = 1000000007;
const int N = 200010;int n, g;
void solve()
{cin >> n >> g;std::vector<int> a(n + 1);for (int i = 1; i <= n; ++i) {int x;cin >> x;a[i] = (x % g == 0);a[i] += a[i - 1];}int l = 0;LL ans = 0;for (int r = 2; r <= n; ++r) {while (l + 1 < r && a[r] - a[l] < r - l - 1) l++;ans += r - l -1;}cout << ans << '\n';
}
int main()
{ios_base :: sync_with_stdio(false);cin.tie(0); cout.tie(0);int t = 1;while (t--){solve();}return 0;
}

2.Python

n,g=map(int,input().split())
a=list(map(int,input().split()))
a=[0]+a
ans=0#记录上一个不符合条件的数
last=0#记录符合条件子数组的左区间
l=1
for r in range(1,n+1):if a[r]%g!=0:l=last+1last=rans=ans+(r-l)
print(ans)