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函数的极限

函数极限的定义：

例题：

 左右极限：

自变量趋于无穷大时函数的极限：

 例题：

函数极限的性质：

函数极限与数列极限之间的关系：

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函数的极限

函数极限的定义：

一句话简述函数极限的定义：

自变量趋于有限值时函数的极限。

数学公式表示：

 注意：x趋近于x0但是x并不等于x0，极限值与x0处是否有定义，函数值的大小没有任何关系。

我们研究函数的极限研究的是自变量趋于x0且不等于x0时，附近的变化趋势。

函数极限的几何意义：

 对于x=x0这一点可以没有定义，假如有定义的话，对于y(x0)这一点，可以在区间之外。

例题：

 左右极限：

左极限的图像：

右极限和左极限是相反的。

 所以对于做左极限，x是小于x0的，对于定义，我们需要修改一下。

自变量趋于无穷大时函数的极限：

 

 无穷大分为正无穷和负无穷。

自变量趋于无穷大时函数的极限和数列的极限非常类似。

我们画出自变量趋于无穷大时函数的极限：

 

 例题：

 

 例题：

 

当x趋近于正无穷，函数的极限值为无穷大。

当x趋近于负无穷，函数的极限为0.

 例题：

 我们画出函数的图像：

 

当x趋近于正无穷，函数的极限值为Π/2。

当x趋近于负无穷，函数的极限为-Π/2.

 例题：

 当x趋近于正无穷时，函数的极限值为1.

当x趋近于负无穷时，函数的极限值为-1

所以极限值不存在。

函数极限的性质：

数列其实就是一个正标函数，所以函数极限的性质和数列极限的性质是类似的。

 表示一个函数极限值只有1个。

 

 当函数有极限时，函数存在一个去心领域，在去心领域的内部，所有的函数值的绝对值都小于M

函数极限存在可以推出函数局部有界，但是函数局部有界不能够推出函数极限存在。

例如：

在x趋近于0时，函数始终在[-1,1]期间，但是函数并没有极限。

 

如果极限值大于0，那么在去心领域中，函数大于0.

 

 如果去心领域中的函数值全部大于等于0，那么函数的极限值也大于等于0.

 由极限值推出函数值没有加等号，而由极限值推出函数值却需要加等号。

我们可以这样写吗？

 不行，我们举出一个反例：

 我们的极限值为0，但是所有的函数值都小于0.

这种情况呢？

不行，我们举出一个反例。

 

 函数值始终大于0但是极限值等于0。

函数极限与数列极限之间的关系：

 因为函数的自变量是任意实数，而数列的自变量是正整数，所以这是由一般推出特殊，无法由特殊推一般。

这里的Xn不等于X0的意思是什么？

答：对于函数来说，x0点处的函数值对极限值没有任何影响，但是对于数列就不同，所以我们要求Xn不等于X0。